Necesito ayuda en un problema y agradecería cualquier sugerencia.
A mí me enseñaron, de la división de una ecuación por una expresión que puede ser igual a cero puede conducir a la pérdida de raíces. Pero yo pensé que esto no está prohibido por completo, causa siempre que en tal situación, simplemente los he resuelto adicionales ecuación (divisor) y comprueba si sus raíces son las raíces de una ecuación inicial. Por ejemplo:
$$ (x + 2)^2 + x + 2 = 0 $$
Dividiendo esto por $( x + 2 )$ da
$$ x + 2 + 1 = 0 $$
así que la raíz es $x = -3$, entonces yo simplemente comprobar si el $ x + 2 = 0$ da una raíz que se ajusta a la ecuación inicial, y lo que hace: $x = -2$.
No tengo una gran experiencia en matemáticas, pero he resuelto un par de cientos de ecuaciones más complejas de lo que esta y nunca tuve problemas. Pero hoy me he encontrado con este problema. Aquí está la ecuación:
$$ 3\sin(5z) -2\cos(5z) = 3 $$
Vi que $\cos(5z) = 0$ es la una de las soluciones, pero yo dividido todo por él y lo consiguió:
$$ \begin{align} 3\tan(5z) - 2 &= 3 \\ 3\tan(5z) &= 5 \\ \tan(5z) &= \frac{5}{3} \\ 5z &= \arctan(\frac{5}{3}) + \pi k , k \in \mathbb{Z} \\ z &= \frac{\arctan(\frac{5}{3}) + \pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} \end{align} $$
la segunda raíz es:
$$ \begin{align} \cos(5z) &= 0 \\ z = \frac{\frac{\pi}{2} + \pi k}{5} &= \frac{\pi (1 + 2 k)}{10}, k \in \mathbb{Z} \end{align} $$
Pero la primera no es una raíz real por alguna razón. Esta fue la primera cosa que me confunde aquí, yo sabía que puede perder una raíz, pero nunca he encontrado el parásito en situaciones similares. Me enseñaron que los parásitos de las raíces sólo puede aparecer cuando se realiza una multiplicación por una expresión que puede ser igual a cero o un exponenciación a un exponente, no en la causa de la división.
La segunda confusión es el hecho de que en realidad me han perdido algunas raíces, causan la solución de los libros de texto fue (con la introducción de los llamados auxiliares ángulo de $\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \implies \gamma = \arcsin(\frac{3}{\sqrt{13}})$):
$$ \begin{align} \underbrace{\frac{3}{\sqrt{13}}}_{\sin(\gamma)} \ sin(5z) - \underbrace{\frac{2}{\sqrt{13}}}_{\cos(\gamma)} \ cos(5z) &= \frac{3}{\sqrt{13}} \\ \sin(\gamma)\sin(5z) - \cos(\gamma)\cos(5z) &= \frac{3}{\sqrt{13}} \\ \cos(\gamma + 5z) &= -\frac{3}{\sqrt{13}} \\ z &= \pm \frac{1}{5}\arccos(-\frac{3}{\sqrt{13}}) - \frac{1}{5}\arcsin(\frac{3}{\sqrt{13}}) + \frac{2\pi k}{5} \end{align} $$
Así que en realidad tengo dos preguntas:
- Es posible perder las raíces permanentemente al dividir una ecuación por una expresión que puede ser igual a cero ?
- Es posible ganar parásito raíces en tal caso? O situaciones en las que pueden aparecer, en general, no sólo en relación con la división?
Gracias.
