Una condición necesaria para la convergencia de series con positivo monótonamente decreciente términos

Question

Supongamos que la serie $\sum a_n$ es convergente y los términos son positivos y en disminución. Es necesario que el $\lim n \log n \, a_n$ existe y

$$\lim_{n \to \infty} \,\,n \log {n} \,a_n = 0.$$

Si el límite existe y

$$\lim_{n \to \infty} n \log n \,a_n \neq 0$$

o el límite no existe y

$$\liminf_{n \to \infty} \,\,n \log n \,a_n > 0,$$

a continuación, la serie debe divergir desde $a_n \geqslant C(n \log n)^{-1}$ todos los $n$ lo suficientemente grande.

Si nos relajamos la monotonía condición para $a_n$, tenemos el ejemplo

$$a_n = \begin{cases} \frac{1}{n \log n} &\mbox{if } n = m^2 \\ \frac{1}{n^2} &\mbox{if }n \neq m^2\end{cases}$$

donde la serie converge, pero el límite no existe y

$$0 = \liminf_{n \to \infty} \,\,n \log n \,a_n < \limsup_{n \to \infty} \,\,n \log n \, a_n = 1.$$

Answer 1

La condición de $n\log n \,a_n\to 0$ no parece ser necesario.

Tratemos de encontrar un contraejemplo de la forma $$a_n=\frac{c_n}{n\log n}\quad,\quad n\geq 2.$$

La secuencia de $(a_n)$ será decreciente si y sólo si $\frac{c_{n+1}}{c_n}\leq \frac{(n+1)\log(n+1)}{n\log n}$ todos los $n$; y que para ello es suficiente para tener $$c_{n+1}\leq \frac{n+1}n\, c_n\, .$$

También es necesario que $$\limsup c_n>0\qquad{\rm and}\qquad\sum_{n\geq 2} \frac{c_n}{n\log n}<\infty\, .$$

Set $n_1:=2$, y deje $(n_k)_{k\geq 1}$ ser un rápido aumento de la secuencia de números enteros, lo suficientemente rápido como para tener $$ \frac{n_{k+1}}{n_k}\uparrow\infty\qquad{\rm and}\qquad\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\log(n_k)}<\infty\, .$$

Ahora, definir una secuencia $(c_n)$ como sigue: $$c_{n}=\frac{n}{n_{k+1}}\qquad{\rm if}\qquad n_k\leq n<n_{k+1}\cdot$$

A continuación, $\limsup c_n\geq 1$ porque $c_{n_{k+1}-1}=\frac{n_{k+1}-1}{n_{k+1}}\to 1$$k\to\infty$. También, $c_{n+1}\leq \frac{n+1}nc_n$ todos los $n$. Finalmente, \begin{eqnarray} \sum_{n=2}^\infty \frac{c_n}{n\log n}&=&\sum_{k=1}^\infty\frac1{n_{k+1}}\sum_{n_k\leq n<n_{k+1}}\frac{1}{\log n}\\ &\leq&\sum_{k=1}^\infty\frac1{n_{k+1}}\times \frac{n_{k+1}-n_k}{\log(n_k)}\\ &\leq&\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\log(n_k)}<\infty\, . \end{eqnarray}

No hay nada especial con $\log n$ aquí. La misma prueba se muestra que, para cualquier función creciente $\phi:\mathbb N\to\mathbb R^+$ tendiendo a $\infty$, se puede encontrar una disminución de la secuencia $(a_n)$ tal que $\sum a_n$ es convergente y $n\phi(n)\, a_n\not\to 0$.