Solución débil $u(x,t)$ de la ecuación del calor converge como $t \in \infty$

Question

Donde puedo encontrar una prueba de que la solución débil $u \in L^2(0,T;H^1) \cap H^1(0,T;H^{-1})$ de la ecuación del calor $$u_t -\Delta u = f$$ converge como $t \to \infty$ a la solución de la elíptica de la PDE $$-\Delta u = f$$ ??

Las eventuales referencias que se agradece enormemente.

Answer 1

Usted puede obtener un $L^2$ resultado de la convergencia de la energía básica de los métodos. Parece que usted está asumiendo que $f = f(x)$, es decir, $f$ no es tiempo-dependiente. Vamos a seguir adelante y tomar un poco más general $f \in H^{-1}$. También asumo que te refieres a $H_0^1(\Omega)$$H^{-1} = (H_0^1)^*$.

Producir una solución débil $v \in H_0^1$ a la elíptica problema $$ \begin{cases} -\Delta v = f & \text{in }\Omega \\ v = 0 &\text{on } \partial \Omega. \end{casos} $$

El próximo producir su solución débil $u \in L^2 H_0^1 \cap H^1 H^{-1}$ a $$ \begin{cases} \partial_t u -\Delta u = f & \text{in }\Omega \\ u = 0 &\text{on } \partial \Omega \\ u = u_0 &\text{for }t=0. \end{casos} $$

Considere la posibilidad de $w = u-v$. Desde $v$ es independiente del tiempo, es fácil ver que $w \in L^2 H_0^1 \cap H^1 H^{-1}$ es una solución débil para $$ \begin{cases} \partial_t w -\Delta w = 0 & \text{in }\Omega \\ w = 0 &\text{on } \partial \Omega \\ w = u_0 - v &\text{for }t=0. \end{casos} $$

A continuación, utilice $w$ como una función de prueba en la débil formulación: $$ <\partial_t w,w>_* + (w,w)_1 = 0. $$ Aquí $<,>_*$ denota la doble vinculación entre el $H_0^1$ $H^{-1}$ $(,)_1$ $H^1_0$ producto interior. De esto podemos deducir que $$ \frac{d}{dt} \int_\Omega \frac{|w(x,t)|^2}{2}dx + \int_\Omega |\nabla w(x,t)|^2 dx =0. $$ La desigualdad de poincaré en $H_0^1$ dice que no existe $C >0$ tal que $$ C \int_\Omega | w(x,t)|^2 \le \int_\Omega |\nabla w(x,t)|^2. $$ Conectando en la de arriba muestra $$ \frac{d}{dt} \int_\Omega |w(x,t)|^2 dx + C \int_\Omega | w(x,t)|^2 \le 0 $$ (aquí se trivialmente enlazado $C \ge C/2$ y, a continuación, multiplicar todo por $2$).

Este es un diferencial de la desigualdad de la forma $\dot{z}(t) + Cz(t) \le 0$. Multiplicar por $e^{Ct}$: $$ \frac{d}{dt}(z(t) e^{Ct}) \le 0. $$ Al integrar, nos encontramos con que $z(t) \le z(0)e^{-Ct}$ todos los $t \ge 0$.

El uso de este, encontramos que $$ \int_\Omega |u(x,t) - v(x) |^2 dx = \int_\Omega |w(x,t)|^2 dx \le \exp(-Ct) \int_\Omega |u_0(x) -v(x)|^2 dx, $$ de la que podemos deducir que $$ \lim_{t \to \infty} || u(\cdot,t) - v||_{L^2(\Omega)} = 0. $$