Preparo mis exámenes de calificación para mi Ms.C. y hago muchos exámenes, pero algunos problemas ahí, no pude resolverlos, espero puedan ayudarme.
1) Demuestra el siguiente isomorfismo de anillo $$\mathbb{C}[x,y] \cong \{ (p(x),q(y)) \in \mathbb{C}[x]\times \mathbb{C}[y] | p(0)=q(0)\}.$$ 2) Que $p$ un número primo y $\omega$ a $p$ -raíz de la unidad y dejemos que $L=\mathbb{Q}(\omega)$ . Además, supongamos que $K$ es un subcampo de $L$ con $$[K:\mathbb{Q}]=\frac{p-1}{2},$$ y $K=\mathbb{Q}(\omega+\omega^{-1})$ . Entonces demuestre que $\sqrt{(-1)^{\frac{p-1}{2}}p} \in L$ .
3) Que $F$ subcampo de $\mathbb{C}$ que contienen un $p$ -raíz unitaria, donde $p$ es un número primo. Sea $K$ una extensión de Galois de $F$ con $[K:F]=p$ . Demostrar que $K$ es el campo de división del polinomio $f(x)=x^p-a$ para algunos $a \in F$ .
4) El último, que $I,J$ ideal de un anillo $R$ tal que $R=I+J$ . Demostrar que para todo par de elementos $a,b \in R$ existe $x \in R$ tal que $x \equiv a \; (mod\; I)$ y $x \equiv a \; (mod \; J)$ .
Eso es todo, algunos de estos problemas los resuelvo con teoremas muy potentes y creo que tienen una solución muy sencilla. Así que, espero sus respuestas y buena suerte con los problemas, gracias.
