Esto está relacionado con esta cuestión. Si alguien pudiera ayudar a descubrir el error sería realmente hacer que mi día!
Me han hecho de nuevo la pregunta. Y se encontró que las características son, de hecho, $x\pm 2\sqrt{-y}$ para la región de $y<0$.
Y sé que $F(x,y)=f_1(x+2\sqrt{-y})+f_2(x-2\sqrt{-y})$ arbitrarias $f_1,f_2$ es de hecho la solución a la ecuación de $F_{xx}+yF_{yy}+{1\over 2}F_y=0$. (Verificable por sustitución directa en la ecuación.)
Ahora mi problema es que no puedo conseguir la correcta forma canónica $F_{\alpha\beta}=0$ donde $\alpha,\beta=x\pm 2\sqrt{-y}$ respectivamente.
Aquí es lo que he hecho:
$M_\pm={1\over c}(-b\pm\sqrt{b^2-ac})=\mp (-y)^{-1/2}$ Así que las características están dadas por $\alpha=x+2\sqrt{-y}$$\beta=x-2\sqrt{-y}$.
Tenemos $a(x,y)F_{xx}+2b(x,y)F_{xy}+c(x,y)F_{yy}+\cdots=H(x,y)$
y ${a\over c}\partial_{xx}+{2b\over c}\partial_{xy}+\partial_{yy}=(\partial_y-M_+\partial_x)(\partial_y-M_-\partial_x)+({\partial M_-\over \partial y}-M_+{\partial M_-\over \partial x})\partial_x$
donde $(\partial_y-M_+\partial_x)(\partial_y-M_-\partial_x)=-\alpha_x\beta_x(M_+-M_-)^2\partial_{\alpha\beta}-\beta_x(M_--M_+)(\partial_\beta [\alpha_x(M_+-M_-)])\partial_\alpha$
Para esta pregunta en particular he calculado $(\partial_y-M_+\partial_x)(\partial_y-M_-\partial_x)=-4(-y)^{-1}\partial_{\alpha\beta}-2(-y)^{-3/2}\partial_\alpha$
$\implies(\partial_y-M_+\partial_x)(\partial_y-M_-\partial_x)+({\partial M_-\over \partial y}-M_+{\partial M_-\over \partial x})\partial_x=-4(-y)^{-1}\partial_{\alpha\beta}-{3\over 2}(-y)^{-3/2}\partial_\alpha+{1\over 2}(-y)^{-3/2}\partial_\beta$
$\implies 4F_{\alpha\beta}+{3\over 2}(-y)^{-1/2}F_\alpha-{1\over 2}(-y)^{-1/2}F_\beta-{1\over 2}(-y)^{-1/2}F_\alpha+{1\over 2}(-y)^{-1/2}F_\beta=0$
Ver a mi problema? Necesito el $F_\alpha, F_\beta$ lo que se refiere a cancelar. OK, el $F_\beta$ queridos cancelar, pero no la $F_\alpha$.
Gracias de antemano!
