Dominio estocástico de segundo orden y $\Pr[X \leq Y]\leq1/2$

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria con una CDF continua $F$ en el soporte $[a,b]$ . Dejemos que $Y$ sea otra v.r. con cdf $G$ que es continua en $[a,b)$ y tiene un átomo en $b$ . $X$ y $Y$ son independientes. También tenemos $E[X]=E[Y]$ y la dominancia estocástica de segundo orden

$$\int_a^k F(t)\,dt \leq \int_a^k G(t)\,dt, \ \ \ a \leq k \leq b.$$

Podemos decir lo siguiente:

$$\Pr[X \leq Y] \leq \frac 1 2 \text{?}$$

Mi intento: He probado el análisis numérico con diferentes valores de los parámetros y la afirmación anterior es siempre cierta. Sin embargo, resulta difícil demostrarlo analíticamente.

Answer 1

No es cierto.

Intuitivamente, podríamos concentrar $X$ cerca de la expectativa común y la difusión $Y$ a los dos puntos finales. Siempre que la mayor parte de la probabilidad de $Y$ está cerca del punto final más pequeño, $X$ tenderá a superar $Y$ pero $Y$ dominará $X$ (estocástico de segundo orden) porque la integral de $G$ aumenta rápidamente en valores pequeños mientras que la integral de $F$ no empieza a subir por encima de cero hasta más tarde.

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Para un contraejemplo explícito, tomemos $a=0$ , $b=1$ y que $0 \lt p \lt 1/2$ se arreglen. Seleccione $0 \lt \epsilon \lt p/2$ y, a continuación, elija $0 \lt \delta \lt p-(1+p)\epsilon$ . Dejemos que $X$ tienen una distribución uniforme en $(p + (1-p)\epsilon-\delta, p + (1-p)\epsilon+\delta)$ y que $Y$ sea una mezcla de una distribución uniforme en $(0,2\epsilon)$ (con peso $1-p)$ y un átomo en $1$ con peso $p$ .

El gráfico de la izquierda muestra $F$ y $G$ . La derecha traza sus integrales. Las gráficas asociadas a $F$ se muestran como una línea discontinua azul, mientras que los gráficos asociados a $G$ se muestran como una línea roja sólida.

Como la expectativa de cualquier distribución uniforme es su rango medio, calcula

$$\mathbb{E}(X) = p + (1-p)\epsilon$$

y como la expectativa de una mezcla es la combinación ponderada de las expectativas de sus componentes,

$$\mathbb{E}(Y) = (1-p)(\epsilon) + p(1) = p + (1-p)\epsilon.$$

Por lo tanto, las expectativas son iguales, como se requiere.

La dominancia estocástica de segundo orden es clara, porque el $G$ integral es positiva para valores pequeños de su límite superior mientras que la $F$ integral es cero, entonces finalmente ambas suben linealmente hasta igualar $1-E[X]=1-E[y]$ en $1$ . Este es el punto en el que los gráficos se unen en la parte superior derecha del gráfico de la derecha.

Por último, dado que $\Pr(Y=0) = 1-p \gt 1/2$ y $\Pr(X \gt 0) = 1$ , $\Pr(X \ge Y) \gt 1/2$ .