Existe un entero $N>0$ tal que $\varphi(n) = N$ tiene una infinidad de soluciones?

Question

Deje $\varphi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ ser el totient función.

Existe un entero $N > 0$ tal que hay infinitamente muchos enteros $n > 0$ tal que $$\varphi(n) = N?$$

Answer 1

No. Deje $M\in\mathbb{Z}^{+}$ y deje $p$ ser el más pequeño que el primer tales que $p> M+1$. Deje $n\in\mathbb{Z}$ tal que $\varphi(n)=M$. Ahora, supongamos $q\ge p$ es un primer factor de $n$. A continuación, escriba $n=q^k\cdot m$, fro algunos $k\ge 1$$q\nmid m$. Entonces, tenemos $$\varphi(n)=\varphi(q^k\cdot m)=\varphi(q^k)\varphi(m)\ge q-1\ge p-1>M,$$ contradicción. Por lo tanto, no divisor primo de $n$ puede ser mayor que $M+1$.

Por lo tanto, el primer divisores de $n$ conforman un conjunto finito, decir $\{p_1,\ldots,p_m\}$. Ahora, escriba $n=p_1^{e_1}\cdots p_m^{e_m}$$e_i>0$. A continuación,

$$\varphi(n)=\varphi(p_1^{e_1})\cdots\varphi(p_m^{e_m})=\prod_{i=1}^{m}p_i^{e_i-1}(p_i-1).$$ Ahora, tenga en cuenta que para cada uno de los prime $p_i$, $\varphi(n)\ge p_i^{e_i-1}(p_i-1)>M$ para un nivel suficientemente amplia selección de $e_i$. Por lo tanto, para cada una de las $p_i$ hay sólo un número finito de opciones válidas para el $e_i$, y de ello se sigue que el conjunto de todos los $n$ s.t. $\varphi(n)=M$ es finito.

Answer 2

No.

Utilizamos el hecho de que si $n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$, $p_i$ diferente de los números primos y el $e_i$ positivo, tenemos $\phi(n) = p_1^{e_1-1}(p_1-1) \cdots p_k^{e_k-1}(p_k-1)$.

Ahora consideremos un entero $N>0$ y supongamos que $\phi(n) = N$. A continuación, $n$ no puede ser divisible por los números primos mayores que $N+1$, ya que si $q > N+1$ divide $n$,$N+1 \leq q-1 \mid \phi(n) = N$, contradicción. El conjunto de los números primos que puede dividir a $n$, por lo tanto, es finito. Deje $p$ ser un prime. Entonces si $p^k \mid n$ tenemos $p^{k-1} \mid N$, lo que deja un número finito de posibilidades para $k$. Por lo tanto el número de números primos que puede dividir a $n$ es limitado y el exponente de cada uno de los prime es limitada, por lo que hay en la mayoría de un número finito de $n$ que $\phi(n) = N$.