Caracterizar una función continua en términos de su gráfica

Question

(Creo) un mapa de $\varphi: G_1 \to G_2$ es un grupo homomorphism iff $\operatorname{Graph}{(\varphi)}$ es un subgrupo de $G_1 \times G_2$ (lo mismo para las categorías de espacios vectoriales, álgebras, anillos).

Hay una caracterización de un mapa continuo $f: X \to Y$ entre espacios topológicos en términos de su gráfica? O tal vez los espacios con más estructura, tales como colectores, o suave colectores?

Edit: El cerrado gráfico teorema proporciona alguna respuesta.

Answer 1

Para mapas generales entre espacios topológicos es sorprendentemente fácil mostrar que continua mapas no pueden ser caracterizados por las propiedades topológicas de los sus gráficos. La razón es que un bijection entre homeomórficos los espacios no es necesariamente un homeomorphism. (En contraste: un grupo bijective homomorphism siempre es un isomorfismo, es decir, su inversa es también un homomorphism)

Para mostrar que una caracterización no existe, deje $f: X \to X$ ser un continua bijection discontinua inversa. A continuación, los gráficos de $f$ y $f^{-1}$ son ambos subconjuntos de a $X \times X$, y el mapa de $(x, y) \mapsto (y, x)$ es un homeomorphism $X \times X \to X \times X$ que las bolsas de los dos gráficos. Claramente ni gráfica tiene cualquier topológico de la propiedad, ya sea intrínseca o en relación con el ambiente de la topología, que el otro gráfico que no tiene.

Hay, por supuesto, clases de mapas donde esto no es una obstrucción. Continua bijections entre compacto Hausdorff los espacios son siempre homeomorphisms, y lo mismo es cierto para la conexión de la orden lineal de los espacios. Un popular subclase de este último está formado por funciones de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Elementales de Topología, un Libro de texto en los Problemas que tiene algunas interesantes criterios para aquellos en los ejercicios 19.33-19.36. (tenga en cuenta también los ejercicios de 19.27 y 19.28 donde un fuerte cerrada el gráfico es el teorema dado que en la Wikipedia)

El caso de compact colectores está cubierto por la cerrada gráfico teorema de la que usted hace referencia. Si algo similar se aplica a los no-compacto colectores yo no lo sé.