No se puede salir de un $\frac 00$ forma indeterminada para este límite

Question

$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{(2x \tan x)}{(1-e^x)^2}$$ He intentado utilizar la regla de l'hospital para resolver las indeterminaciones 0/0, pero sin éxito. ¿Puede alguien ayudarme a encontrar la solución a este problema? Gracias de antemano por cualquier consejo.

Answer 1

$${2x\tan x \over(e^x-1)^2}={2\over \cos x}\ {\sin x \over x}\Bigl({e^x -1\over x}\Bigr)^{-2}\ \to\ 2\cdot 1\cdot 1^{-2}=2\qquad (x\to0)\ .$$

Answer 2

Establecer $g(x)=2 x \tan (x)$ , $h(x)=\left(1-e^x\right)^2$ , $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

Entonces como $\lim \limits_{x \to 0}g(x)=\lim\limits_{x \to 0}h(x)=0$ tienes que

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{g'(x)}{h'(x)}$$

si el lado derecho existe por l'Hôpital. Pero como $\lim\limits_{x \to 0}g'(x)=\lim\limits_{x \to 0}h'(x)=0$ tienes que

$$\lim\limits_{x \to 0}\frac{g'(x)}{h'(x)}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{g''(x)}{h''(x)}$$

si el lado derecho existe por l'Hôpital. Pero evaluando esto se puede ver que

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{g''(x)}{h''(x)}=\frac{4}{2}=2$$

Y por lo tanto tienes tu límite.