No lineal Parcial DE

Question

En mi trabajo me he encontrado con la siguiente ecuación diferencial parcial

$$\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2-\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2+f(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}=0$$

donde $f(x,y)=\frac{1}{2}\frac{(y^2-x^2)^2}{xy(x^2+y^2)}$, $u=u(x,y)$

He intentado resolverlo por el método de la característica, pero era demasiado complicado.

Tal vez alguien sabe algo acerca de este tipo de PDE? De todos modos me gustaría ser agradecido por las sugerencias.

Answer 1

Sugerencia:

$\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2-\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{(y^2-x^2)^2}{xy(x^2+y^2)}\dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{\partial u}{\partial y}=0$

$2xy(x^2+y^2)\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2+(x^2-y^2)^2\dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{\partial u}{\partial y}-2xy(x^2+y^2)\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2=0$

$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{-(x^2-y^2)^2\dfrac{\partial u}{\partial y}\pm\sqrt{(x^2-y^2)^4\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2+16x^2y^2(x^2+y^2)^2\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2}}{4xy(x^2+y^2)}$

$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{-(x^4-2x^2y^2+y^4)\pm(x^4+6x^2y^2+y^4)}{4xy(x^2+y^2)}\dfrac{\partial u}{\partial y}$ (de acuerdo a http://www.wolframalpha.com/input/?i=factorize%28x%5E2-y%5E2%29%5E4%2B16x%5E2y%5E2%28x%5E2%2By%5E2%29%5E2)

$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\dfrac{\partial u}{\partial y}$ o $\dfrac{\partial u}{\partial x}=-\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\dfrac{\partial u}{\partial y}$