Incluso subgrupo de un freegroup

Question

Mostrar que el incluso subgrupo de ${\bf F}_2$ es generado por $S= \{x^{2}, xy, xy^{-1}\}$. Yo podría utilizar un poco de ayuda para empezar en este problema. Soy nuevo en la idea de la libertad de los grupos.

Answer 1

Aclarar que el "subgrupo" es el conjunto de todos reducido de palabras de longitud.

Una reducción de la palabra de longitud será de un (posiblemente vacía) producto de la reducción de palabras de longitud 2 (porque cada subword de una disminución de la palabra es reducida); la reducción de palabras de longitud 2 son: $xx$, $xy$, $x{y^{-1}}$, $x^{-1}x^{-1}$, $x^{-1}y$, $x^{-1}y^{-1}$, $yx$, $yx^{-1}$, $yy$, $y^{-1}x$, $y^{-1}x^{-1}$, $y^{-1}y^{-1}$. De manera que el grupo de palabras es el subgrupo generado por estas doce palabras. De hecho, usted puede cortar a seis por la eliminación de elementos que son los inversos de los demás generadores: basta $x^2$, $xy$, $x^{-1}y$, $xy^{-1}$, $x^{-1}y^{-1}$, y $y^2$.

Con el fin de mostrar que su conjunto genera incluso subgrupo, tenemos que mostrar que cada uno de los generadores se encuentra en el subgrupo generado por $x^2$, $xy$, y $xy^{-1}$. De los seis generadores, tres están directamente dada por $x^2$, $xy$, $xy^{-1}$. Dos más,$x^{-1}y$$x^{-1}y^{-1}$, se obtienen multiplicando las $xy^{-1}$ a la izquierda por la inversa de a $x^2$. Que cinco de los seis generadores.

El generador falta aún es $y^2$. Una manera fácil de conseguir algunos $y^2$ es multiplicar $xy$ por la inversa de a $xy^{-1}$; obtenemos $xy^2x^{-1}$. Consiguiendo $y^2$ multiplicando este por los elementos idóneos de $\{x^2,xy,xy^{-1}\}$ o sus inversos debe ser lo suficientemente sencillo como ahora.

Ahora, dejando $\mathbf{E}$ ser incluso subgrupo de $\mathbf{F}_2$, tenemos: $$\mathbf{E} =\langle x^2, xy, xy^{-1}, x^{-1}y,x^{-1}y^{-1},y^2\rangle \subseteq \langle x^2,xy,xy^{-1}\rangle \subseteq \mathbf{E}.$$

Answer 2

1. Comprobar que los elementos de $S$ están en el grupo que se desea generar.

2. Pensar en una evidente conjunto de generadores de su grupo. (Si esto es un problema que usted puede ser que desee anotar la definición de su grupo.)

3. Demostrar que todos los elementos de la obvia conjunto son generados por $S$.

Answer 3

Un enfoque ligeramente diferente:

Deje $G=\langle x, y; x^2, xy^{-1}, xy\rangle$. Claramente $G\cong C_2$. Por lo tanto, el subgrupo normal de $F_2$ generado por $S=\{x^2, xy^{-1}, xy\}$ índice de $2$, por lo que claramente debe contener el incluso subgrupo. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que $\langle S\rangle$ es normal en $F_2$.

Demostrando que $\langle S\rangle$ es normal es $F_2$ no es demasiado difícil probar que los elementos de la $S$ conjugado por $x^{\pm 1}$ $y^{\pm 1}$ están en el subgrupo generado por a $S$.