Mostrando $64\le\left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right)\left(1+\frac1z\right)$

Question

Mostrando $64\le\left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1y\right)\left(1+\frac1z\right)$ $x,y,z>0$ $x+y+z=1$

Esta desigualdad es equivalente a;

$\left(\frac{x+1}{4}\cdot\frac1x\right)\left(\frac{y+1}{4}\cdot\frac1y\right)\left(\frac{z+1}{4}\cdot\frac1z\right)\ge1$ tomando el logaritmo de ambos lados tenemos que demostrar que el lado izquierdo es mayor o igual a $0$, pero por la convexidad de $\ln\left(\frac{x+1}{4}\right)-\ln(x)$, es decir, $\frac{d^2}{dx^2}\left[\ln\left(\frac{x+1}{4}\right)-\ln(x)\right]= \frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}>0$ hemos

$\sum\limits_{cyc}\ln\left(\frac{x+1}{4}\right)-\ln(x)\ge3\ln\left(\sum\limits_{cyc}\frac{x+1}{4}\right)-3\ln\left(\sum\limits_{cyc}x\right)=3\ln(1)-3\ln(1)=0$

Está bien, o es que hay una manera mucho más sencilla ? (Yo lo hice de la misma como en el ejemplo $4.1.2.$ aquí)

Answer 1

Por AM-GM tenemos: $$ \frac{1}{3}=\frac{1}{3}(x+y+z)\geq\sqrt[3]{xyz}\implica\frac{1}{27}\geq xyz\implica\frac{1}{27xyz}\geq 1. $$ El uso de AM-GM de nuevo, con 4 de los términos de este tiempo, obtenemos $$ 1+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{3x}+\frac{1}{3x}+\frac{1}{3x}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{27x^3}}. $$ Hacer que para los otros 2 los términos y multiplicar. Tenemos $$ \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)\geq 64\sqrt[4]{\left(\frac{1}{27xyz}\right)^3}\geq 64. $$ Las igualdades son iff $x=y=z=\frac{1}{3}$.

Answer 2

Por Titular y AM-GM $\prod\limits_{cyc}\left(1+\frac{1}{x}\right)\geq\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}\right)^3\geq\left(1+\frac{1}{\frac{1}{3}}\right)^3=64$