Soy nuevo en el Combinatoria y me preguntaba si hay un conocido de la generalización de los coeficientes binomiales en el siguiente sentido:
Los coeficientes binomiales, $n \choose d$, se puede considerar como el número de formas en que $d$ objetos pueden ser escogidas de entre las $n$ de manera tal que el orden de selección en el que no importa y que no hay ningún objeto puede ser seleccionado más de una vez, mientras que el multi-conjunto de coeficientes, ${\big(\!{n\choose d}\!\big)}={n+d-1\choose d}$, enumerar las formas en que $d$ objetos pueden ser escogidas de entre las $n$ los objetos que el orden no importa, pero cualquier objeto puede ser elegido cualquier número de veces.
Hay un término medio? Específicamente, en el que $d$ objetos son escogidos de entre $n$ tal que el orden no importa, pero el $i^{th}$ objeto puede ser seleccionada no más de $k_i$ veces?
De forma heurística, hay dos bastante obvio enfoques para el cálculo de estos números (aparte de la fuerza bruta). Vamos a llamar a estos números de $C(n,d;K)$ por conveniencia, donde $K\equiv \{k_1,k_2,...,k_n\}$. En primer lugar, uno podría encontrar los coeficientes de los polinomios de la forma $$ {\large\prod_{i=0}^{n}{\huge(}\sum_{j=0}^{k_i}(x^j){\huge)}=\sum_{m=0}^{N}C(n,m, K)x^m} $$ donde$k_0\equiv 0$$N=\sum_{i=0}^{n}k_i$.
Por otro lado, se podría utilizar un algoritmo similar en la lógica del Triángulo de Pascal en el $C(n,d;K)$ se calcula sumando $k_n$ términos con $n$valor $n'=n-1$ e con $K'=K-\{k_n\}$ $N'=N-k_n$ (es decir, desde la anterior "en línea" en un generalizada Triángulo de Pascal). $$ \large{C(n,d;K)=\sum_{m=d-k_n}^{d}C(n',m;K')} $$ con $C(n',m;K')=0$ todos los $m<0$ y todos los $m>N'$.
Para ayudar a clarificar, aquí un ejemplo: Supongamos que tenemos 4 tipos de objetos con el siguiente $k$valores $k_1=1,\ k_2=2,\ k_3=3,\ k_4=4.$ a partir De este se puede construir una generalizada Triángulo de Pascal:
$\underline{n=0}:\ 1\\\underline{n=1}:\ 1\ \ 1\\\underline{n=2}:\ 1\ \ 2\ \ 2\ \ 1\\\underline{n=3}:\ 1\ \ 3\ \ 5\ \ 6\ \ 5\ \ 3\ \ 1\\\underline{n=4}:\ 1\ \ 4\ \ 9\ \ 15\ \ 20\ \ 22\ \ 20\ \ 15\ \ 9\ \ 4\ \ 1$
Cada término en la $n$th fila del triángulo se calcula por el deslizamiento de una ventana de tamaño $k_n+1$ a través de la $(n-1)^{th}$ fila del triángulo, y sumando los términos dentro de esa ventana (es decir, para la 3ª fila [recordemos que $k_3=3$], $1=0+0+0+1$, $3=0+0+1+2$, $5=0+1+2+2$, y así sucesivamente).
Como el Triángulo de Pascal, estos generalizada triángulos tienen muchas propiedades. Por ejemplo, el $n^{th}$ fila siempre ha $N_n+1$ términos; las filas son siempre simétricos; y, el final de la fila en el triángulo (la que proporciona los coeficientes que estamos buscando) no depende del orden en el que se compute las filas anteriores (es decir, el $n=4$ fila sería el mismo que en el ejemplo anterior, incluso si el $k$-valores fueron intercambiados alrededor [por ejemplo,$k_1=2,\ k_2=4$, etc.]). Quizás la propiedad más interesante es la siguiente: $$ \large{\sum_{m=0}^{N}C(n,m, K)=\prod_{j=0}^{n}(k_j+1)} $$ Así, en el ejemplo anterior, esto implica que la suma de los $n^{th}$ fila $(n+1)!$ o, en el caso límite de los coeficientes binomiales (en la que todos los $k_i=1$), la suma de los $n^{th}$ fila $2^n$ - como se esperaba.
Claramente, existen métodos para calcular estos generales de los coeficientes, pero he sido incapaz de encontrar cualquier literatura en una concisa fórmula para el $C(n,d;K)$ dado que todos los parámetros del problema o incluso nada acerca de la eficacia de los métodos para calcular uno de estos coeficientes, sin el uso de la polinomio de generación de función antes citada.
¿Alguien sabe de alguno de dichos métodos o fórmulas? Cualquier ayuda sería muy apreciada.
Gracias!
