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Cómo demostrar que x+y+z>4a+b+c=4ax+by+cz=xyz?

Dado positivo reales a,b,c,x,y,z tal que a+b+c=4ax+by+cz=xyz. Cómo demostrar que x+y+z>4?

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idlefingers Puntos 15957

Supongamos que no existe a,b,c,x,y,z>0 tal que a+b+c=4, ax+by+cz=xyz, x+y+z4. Observar que hemos axyz+bxyz+cxyz=4xyz, así que axyz+bxyz+cxyz=4ax+4by+4cz, y por lo tanto ax(yz4)+by(xz4)+cz(xy4)=0. Desde x+y+z4 y a,b,c,x,y,z>0, lo que sigue son las desigualdades xy,yz,xz<4, de dónde ax(yz4)+by(xz4)+cz(xy4)<0; una contradicción, qed.

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