Cómo demostrar que $x+y+z>4$$a+b+c=4$$ax+by+cz=xyz$?

Question

Dado positivo reales $a,b,c,x,y,z$ tal que $a+b+c=4$$ax+by+cz=xyz$. Cómo demostrar que $x+y+z>4$?

Answer 1

Supongamos que no existe $a, b, c, x, y, z > 0$ tal que $$a+b+c=4,$$ $$ax+by+cz = xyz,$$ $$x+y+z \leq 4.$$ Observar que hemos $$axyz + bxyz + cxyz = 4xyz,$$ así que $$axyz + bxyz + cxyz = 4ax + 4by + 4cz,$$ y por lo tanto $$ax(yz-4) + by(xz-4) + cz(xy-4) = 0.$$ Desde $x+y+z \leq 4$ y $a, b, c, x, y, z > 0,$ lo que sigue son las desigualdades $$xy, yz, xz < 4,$$ de dónde $$ax(yz-4) + by(xz - 4) + cz(xy-4) < 0;$$ una contradicción, qed.