Encontrar no trivial de la solución de la Ecuación de Diophantine $17a^4 + 5b^4 = 35c^4$, o mostrar que no hay soluciones no triviales existen

Question

Este es un problema en mi examen de práctica para la teoría de números, y no hemos tenido un ejemplo como este en clase todavía. La cuestión está buscando una solución en $\mathbb{Z}$$a,b,c \in \mathbb{Z}$. He tratado de reducir todo (mod 5), pero realmente no figura nada de eso, y yo no estoy viendo muchas opciones para la reciprocidad cuadrática, ya sea...

Answer 1

Modulo $5$, podemos concluir fácilmente que $5\mid a$. Dividiendo por $5$, y en busca de mod $5$ nuevo, podemos concluir que $5\mid b$$5\mid c$.

El resultado, que sólo $(0,0,0)$ es una solución, sigue por el descenso infinito.

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Parece ser que hay también un descenso argumento modulo $4$, y otro modulo $17$.

Answer 2

$\bmod 17\!:\:\:\: 17a^4+5b^4-35c^4\equiv 5b^4-c^4\equiv 0\,\Rightarrow\, 17\mid b,c\,\Rightarrow\, 17\mid a$,

desde $5b^4\equiv\{0,3,5,12,14\}$ (WA), $\ c^4\equiv\{0,1,4,13,16\}\pmod{\!17}$ (WA).

Por lo $(a/17,b/17,c/17)$ da otro número entero solución para arbitrario $(a,b,c)$, lo cual sólo es posible cuando la $(a,b,c)=(0,0,0)$ (descenso infinito). Como dijo Slade, mod $4,5$ también dan infinito descenso de las pruebas.