¿Existe alguna prueba breve de este problema clásico?

Question

Dejemos que $X,Y$ sean dos v.r. i.d. con media cero y varianza unitaria. Si $X+Y$ y $X-Y$ son independientes, entonces $X$ y $Y$ son ambos de distribución normal estándar.

¿Hay alguna prueba corta para este problema?

Answer 1

Esta es una forma debilitada del Teorema de Bernstein (debilitado por suponer innecesariamente distribuciones idénticas que tienen varianzas finitas), por lo que la prueba es más corta. He aquí un esquema, adaptado de "Sobre tres caracterizaciones de la distribución normal" por M. P. Quine:

Definir $\quad U = X+Y, \quad V=(X-Y)^2$

y funciones características $$\phi(t) = E e^{itX}\\ \gamma(s,t) = E e^{isU + itV}.$$ Entonces, usando la independencia, $${\partial\gamma \over \partial t} = E( iV e^{itV})\ E( e^{isU}),$$ por lo que, en términos de $X$ y $Y$ se encuentra que $${\partial\gamma \over \partial t}\bigg|_{t=0} = 2iE(X^2 e^{isX}) E(e^{isY}) - 2i(E(Xe^{isX}))^2 = -2i \phi''(s)\ \phi(s)+2i(\phi'(s))^2.$$ Sin embargo, también tenemos $${\partial\gamma \over \partial t}\bigg|_{t=0} = E(e^{isU}) {\partial \over \partial t} E(e^{itV})\bigg|_{t=0} = 2i(\phi(s))^2,$$ de ahí la ecuación $$- \phi \ \phi'' + (\phi')^2 = \phi^2$$ cuya solución única es $$\phi(s) = e^{-{1 \over 2}s^2}.$$ QED

NB : El artículo citado demuestra la versión más fuerte: Si $(X,Y)$ son independientes y $(X+Y, X-Y$ ) son independientes, entonces $X$ y $Y$ son normales con la misma varianza (finita).