Espacios vectoriales - Si un sumando añade nada, entonces el sumando es el vector cero.

Question

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Con una excepción, la siguiente prueba se basa únicamente en el espacio vectorial axiomas. Axioma de nombres en cursiva. Se define en Wikipedia (espacio vectorial).

Espacios vectoriales - Si un sumando añade nada, entonces el sumando es el vector cero.

Deje $V$ ser un espacio vectorial. Por esta prueba, sabemos que un vector cero de $V$ es único; deje $0$ ser el vector cero de $V$. Deje $v_1, v_2 \in V$.

Si $v_1 + v_2 = v_1$,$v_2 = 0$.

Prueba. Suponemos que $v_1 + v_2 = v_1$. Queda por demostrar que $v_2 = 0$. Deje $(-v_1)$ ser un inverso aditivo de a $v_1$. $$\begin{align*} 0 &= v_1 + (-v_1) && \text{by }\textit{Inverse elements of addition} \\ &= (v_1 + v_2) + (-v_1) && \text{by assumption} \\ &= (v_2 + v_1) + (-v_1) && \text{by }\textit{Commutativity of addition} \\ &= v_2 + (v_1 + (-v_1)) && \text{by }\textit{Associativity of addition} \\ &= v_2 + 0 && \text{by }\textit{Inverse elements of addition} \\ &= v_2 && \text{by }\textit{Identity element of addition} \\ \end{align*}$$ QED

Answer 1

La prueba es correcta. De forma más intuitiva, la prueba es por la cancelación de $\,v_1$ desde ambos lados, mediante la adición de su inversa, lo que deja en claro que la prueba se generaliza a la siguiente anulación de la ley de

$$v+ u = v + w\ \Rightarrow\ u = w$$

Este simple inferencia, que es invertible elementos son rescindibles, es omnipresente en el álgebra.