Ayudar a mostrar una sucesión es convergente

Question

Supongamos que una secuencia $y_n$ se define de forma iterativa por $y_0 = 1$ y $$ y_{ n + 1 } = \frac{ 1 }{ 2 + y_n } $$ Mostrar que $\{ y_n \}_{ n \geq 0 }$ es una secuencia convergente.

No estoy muy seguro de por dónde empezar.

Answer 1

Donde me gustaría empezar es calcular un par de términos. Una hoja de cálculo hace que sea fácil: poner 1 en A1, =1/(2+A1) en B1 y copiar hacia abajo. Converge rápidamente a $\sqrt 2-1$

Si hay un límite de $L$, debemos tener $L=\frac 1{2+L}$, que tiene soluciones de $-1\pm \sqrt 2$

Ahora vamos a $z_n=y_n-(\sqrt 2 -1)$ Usted debe ser capaz de demostrar que $z_n$ es monótonamente decreciente.

Answer 2

Una estrategia es

1)tomar el límite en ambos lados

2)utilice las reglas de operación de los límites

3)Recuerde $\lim y_{n+1}=\lim y_n$

Entonces usted puede tener el límite de la secuencia.

Nota: esto no es prueba de que esta sucesión es convergente.

Answer 3

Trate de mostrar que la sucesión es monótona creciente (después de un punto), y que todos, pero la partida término de la sucesión es acotada arriba por $\frac12$.

Answer 4

Considerar la posibilidad de intentar demostrar que dos subsecuencias que componen la totalidad de la función ($y_n$ para cada uno de los pares y los impares $n$) ambos convergen en el mismo punto.

Si tratamos de definir $y_{n+2}$ en términos de $y_n$ en lugar de $y_{n+1}$, obtenemos: $y_{n+2} = \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + y_n}}$ $\cfrac{1}{\cfrac{5 + 2y_n}{2 + y_n}}$ o $\cfrac{2 + y_n}{5 + 2y_n}$.

A continuación, muestran que si $y_n < \sqrt{2} - 1$,$y_n < y_{n+2} < \sqrt{2} - 1$, y si $y_n > \sqrt{2} - 1$,$y_n > y_{n+2} > \sqrt{2} - 1$. Entonces, te han demostrado el resultado por inducción.