Teoría de conjuntos - forma Generalizada de la distributividad de los sindicatos en las intersecciones

Question

Estoy tratando de resolver esta cuestión y se quedó en el camino. Alguien puede dejarme alguna sugerencia de qué dirección ir?

Pregunta: Mostrar que si $A_{ij}$ $i$ ,$j$ $\in$ $\mathbb{N}$ se establece a continuación,

$\bigcup_{i=0}^\infty\Bigg(\bigcap_{j=0}^\infty{A_{ij}}\Bigg)$ = $\bigcap\Bigg\lbrace\Bigg(\bigcup_{i=0}^\infty A_{ih(i)}\Bigg)\mid h\in \mathbb N^{\mathbb N}\Bigg\rbrace$ .

Solución: Estoy tratando de probarlo por 'Extensionality propiedad de conjuntos'. Así que si me muestran que para algunos arbitrario $x$,

$x\in L.H.S$ $\iff$ $x\in R.H.S$ entonces voy a hacer con ella.

Así en $L.H.S$ tengo

$x\in\bigcup_{i=0}^\infty\Bigg(\bigcap_{j=0}^\infty{A_{ij}}\Bigg)\iff x \in \bigcap_{j=0}^\infty{A_{ij}}$ , para algunas de las $i \in \mathbb N$.

Ahora en este momento estoy luchando para escribir el conjunto de funciones de$\mathbb N\to\mathbb N$, de modo que yo pueda convertir $L.H.S$$R.H.S$.

Mis esfuerzos hasta ahora es el siguiente:- He ampliado la $L.H.S$ para obtener una idea de las funciones que se requieran.

$\bigg(A_{00} \cap A_{01} \cap A_{02} \cap ...\bigg) \cup \bigg( A_{10} \cap A_{11} \cap A_{12} \cap ... \bigg) \cup \bigg( A_{20} \cap A_{21} \cap A_{22} \cap ...\bigg) \cup ...$

Así que tengo que necesito siguientes conjuntos de funciones:

$h_{1}(i)$=$0$ $\space$ para todos $i$ $\in$ $\mathbb N $

De manera que obtenemos

$\bigg(A_{0h_1(0)} \cup A_{1h_1(1)} \cup A_{2h_1(2)} \cup...\bigg)$ $\mapsto$ $\bigg(A_{00} \cup A_{10} \cup A_{20} \cup ...\bigg)$

Es decir, estoy retomando la primera serie de cada disparidad para hacer una conjunción necesaria en $R.H.S$. Entonces puedo hacer $h_{2}(i)=1$ para todos los $i\in\mathbb N$ , $h_{3}(i)=2$ para todos los $i\in\mathbb N$ y así sucesivamente ... por Lo que hace el tipo de conjunto de funciones, pero aún no hemos terminado, ya que hay más combinaciones posibles..

$g_{1}(i) = \begin{cases} 0 & \text{if } i = 0 \\ 1 & \text{if } i \neq 0 \end{casos}$

De manera que obtenemos ,

$\bigg(A_{0g_1(0)} \cup A_{1g_1(1)} \cup A_{2g_1(2)} \cup...\bigg)$ $\mapsto$ $\bigg(A_{00} \cup A_{11} \cup A_{21} \cup ...\bigg)$ y así sucesivamente podemos definir

$g_{2}(i) = \begin{cases} 0 & \text{if } i = 0 \\ 2 & \text{if } i \neq 0 \end{casos}$ y

$g_{3}(i) = \begin{cases} 0 & \text{if } i = 0 \\ 3 & \text{if } i \neq 0 \end{casos}$

y así sucesivamente...

Todavía tenemos que definir muchas más funciones para otras combinaciones posibles...

No sé cómo convertir mis ideas en $R.H.S$... Cualquier sugerencia por favor?

Answer 1

Consideramos la ecuación

$\bigcup_{{i=0}}^\infty\left(\bigcap_{{j=0}}^\infty A_{{ij}}\right)=\bigcap_{{h:\mathbb N\to\mathbb N}}\left(\bigcup_{{i=0}}^\infty A_{{ih(i)}}\right)$

Supongamos $x$ está en el lado izquierdo, luego de algunos $i$, $x\in A_{ij}$ para todos los $j$. En particular, $x\in A_{ih(i)}$ todos los $h:\mathbb N\to\mathbb N$. Por lo tanto $x$ está en el lado derecho.

Ahora supongamos $x$ no está en el lado izquierdo.
A continuación, para todos los $i$ hay $j$ tal que $x\not\in A_{ij}$. Definir $h(i)$ al menos $j$. Ahora $x\not\in\bigcup_{i=0}^\infty A_{ih(i)}$. Por lo tanto $x$ no está en la RHS.

Ya que este tiene para todos los conjuntos de $x$, tenemos la igualdad.