Un (aparentemente) círculo vicioso en la lógica de

Question

Por favor alguien puede ayudarme con este ejercicio siguiente 4.4 (p. 114) de la Lógica Matemática libro de Ebbinghaus et al(esto no es la tarea, sino más bien algo que me ha estado molestando por un largo tiempo, que ahora me han encontrado en la forma de un ejercicio, lo que significa que no debe ser una respuesta definitiva a la misma):

Un lector que ha sido confundido por la discusión en este capítulo [yo soy que lector!] dice: "Ahora estoy completamente mezclado. ¿Cómo puede ZFC ser utilizado como base para la lógica de primer orden, mientras que la lógica de primer orden era en realidad necesarios para construir ZFC?" La ayuda de un lector de su dilema (Sugerencia: una vez más tener cuidado en distinguir entre el objeto y el nivel de fondo.)

Answer 1

En cualquier matemático de estudio hay dos cosas que tienen que ser claros: el "objeto" tema que queremos estudiar y el "fondo" o "meta" del sistema que utilizamos para el estudio. Podemos elegir cada uno de estos con total libertad. (Por supuesto, si el sistema de fondo es demasiado débil, no será capaz de decir nada sobre el tema objeto, sino que es la vida).

Por ejemplo, supongamos que queremos para el estudio de los números reales como nuestro tema objeto.

• Podríamos utilizar la geometría Euclidiana como nuestro sistema de fondo, de modo que podemos terminar mirando los números que puede ser construido por regla y compás. Nos gustaría declarar algún segmento de $S$ a tiene longitud de $1$ "por convención" y, a continuación, el resto de los segmentos representan los números reales, dependiendo de la proporción de su longitud la longitud de $S$. Con más trabajo, incluso podríamos encontrar formas para representar polinomios en términos de finito arreglos de puntos en el plano, por lo que se puede pedir que los polinomios pueden ser construidos y que edificable polinomios tienen edificable raíces.

• Podríamos utilizar ZFC, y definir los números reales como algún tipo de conjuntos, y el estudio de estos conjuntos particulares.

• Podríamos trabajar más axiomáticamente trabajando en ZFC y el estudio de la teoría de una completa Arquímedes ordenó campo. Una diferencia entre esta y la anterior viñeta es que si pensamos en un número real sólo como un elemento de trabajo de campo, a continuación, no tiene sentido preguntar si $5 \in \pi$, debido a que no hay "$\in$" en el idioma de los campos; pero si pensamos un número real como sólo algunas particular, entonces sí tiene sentido preguntar si $5 \in \pi$. Del mismo modo, en la geometría podríamos preguntar si dos números (representados por segmentos de línea) son paralelos.

El mismo tipo de cosa funciona para cualquier otro objeto de la teoría. Por ejemplo, si queremos estudiar la lógica de primer orden, podemos:

• Podríamos trabajar con un muy débil de la teoría de que sólo es capaz de manipular finito de cadenas binarias. Por las adecuadas técnicas de codificación podemos ver algunas cadenas como la representación de las fórmulas de la lógica de primer orden, de la misma manera que la geometría de Euclides utiliza segmentos de línea para representar los números reales. A continuación, podemos ver qué tipo de construcciones se puede hacer en estas cadenas.

• Podríamos trabajar en ZFC, desarrollar una semántica para la lógica de primer orden, y el estudio de la relación entre provability y la semántica.

Las diversas formas de estudiar un solo tema cada actúan como "filtros" que ocultar ciertos aspectos del tema y destacar otros aspectos. Al mismo tiempo, como se ha visto anteriormente, muchos de la meta de los sistemas de agregar sus propias idiosincrasias así. La mayoría de los comúnmente utilizados de fondo de los sistemas pueden ser organizados en una jerarquía lineal de aumento de la fuerza (por ejemplo, PRA < PA < ZF < ZFC), que Simpson ha llamado la "jerarquía de Gödel". Diferentes partes de esta jerarquía de proporcionar herramientas para el estudio de diferentes aspectos del objeto de los temas.

No hay ninguna razón por la que no podemos utilizar un determinado sistema como un sistema de fondo para el estudio de sí mismo. Por ejemplo, podemos estudiar ZFC dentro de ZFC. Esto no es más paradójico que el uso de una llave para arreglar la misma máquina de fundición, que hicieron de esa llave. Del mismo modo, cuando queremos estudiar ZFC, podemos decidir usar sintáctica de la lógica de primer orden como base del sistema, y cuando queremos estudiar la lógica de primer orden, podemos decidir tomar ZFC como nuestro sistema base.

Answer 2

Como cody me señaló, este responde a la pregunta desde el punto de vista de un matemático platónico.

Hay 2 diferentes ZFCs. La primera es la ZFC en las que trabajamos, el que conocemos y amamos. En este ZFC, una "prueba" significa lo que significa coloquialmente por una "prueba". En este "casual": ZFC, ayudado por nuestro mundo real de la intuición y de la experiencia, sabemos que "a y B" significa que lo que se hace en inglés: a y B son verdaderas. Sabemos lo "a(x) es verdadera para todo x" significa - lo que se hace en inglés. Sabemos que 2+2=4, no a causa de la teoría de los números o de los axiomas de Peano, pero debido a que refleja nuestra experiencia diaria. Aprendemos a reconocer las pruebas, no por su capacidad de transformarse en lenguaje formal, pero por la experiencia, la intuición y la sensación de la tripa.

Dentro de este "casual" de ZFC, creamos la rigurosa disciplina conocida como la lógica. Dentro de esta lógica, se formaliza la noción de "verdad", se formaliza la noción de "prueba", se formaliza, bueno, todo. La mayoría de las definiciones que formalizar estas ideas están basadas en nuestros sentimientos y/o experiencia en "casual" de ZFC. Por ejemplo, en la lógica, definimos $(A\wedge B)$ a si y sólo si $A$ mantiene y $B$ mantiene.

Por último, dentro de la lógica, podemos definir la "formal" de ZFC. Aquí, ZFC es una lista de axiomas y la "prueba" significa "una cadena de oraciones, cada una de las cuales es una hipótesis, axiomas, o puede ser formalmente deduce de una sentencia anterior en la cadena por modus ponens." La "verdad" se convierte en una noción semántica, a menudo dependiendo de cual modelo de ZFC en el que estamos trabajando.

Answer 3

Formalmente, la lógica de primer orden es la metatheory en el que la mayoría de matemáticas se lleva a cabo. En este sentido, la lógica de primer orden es anterior a la teoría de conjuntos en que cuando vamos a probar algo que en la teoría de conjuntos, estamos utilizando finitistic razonamiento que se formaliza rigurosamente en nuestro metatheory. Sin embargo, es un fenómeno lo suficientemente fuerte teorías (ZF, Robinson Aritmética) que son capaces de formalizar lo que es ser una prueba dentro de sí mismos. Por lo tanto, tiene una fórmula en ZFC $\psi$ que lleva los números de Gödel de las sentencias $\phi$ ($\ulcorner\phi\urcorner$) s.t $\psi(\ulcorner\phi\urcorner)=1$ fib no es una prueba en ZFC de $\phi$. Este fenómeno es el origen de Gödel de los teoremas de incompletitud. Es importante mantener estas dos cosas separadas, la primera orden de la lógica formalizada en el metatheory y el fenómeno que es lo suficientemente fuerte teorías son capaces de expresar los fragmentos de este.

Answer 4

La cuestión de lo que realmente se entiende por "ZFC es una base de FOL" y "FOL es una base de ZFC"?

La idea parece ser que todas las expresiones pueden ser reducidos a un lenguaje formal ZFC/FOL. Que fue el programa de Hilbert. Resulta que este tiene algunos problemas. Y Gödel de la teoría de la incompletitud no es el único, en mi opinión.

Creo que una mejor analogía es un compilador que compila el código fuente en código máquina. Código de la máquina es un lenguaje que tiene que ser realizable.

Creo que este es un muy profundo pregunta, y que más o menos arbitraria definición de nivel y meta-nivel no es la respuesta. El sistema en sí habría que incorporar una definición de los niveles. Esto está relacionado con la cuestión de cómo definir definición.