Ejemplo de límite de Spivak

Question

Considere la función $f: (0, 1) \to \mathbb{Q}$ definido por $$f(x) = \begin{cases} 0, & x\text{ irrational} \\ 1/q, & x = p/q\text{ in lowest terms.} \end{cases}$$ El problema es demostrar que $\lim\limits_{x \to a}f(x) = 0$ , utilizando $\delta$ - $\epsilon$ para todos $a \in (0, 1)$ . Es decir, para todos los $\epsilon >0$ hay un $\delta > 0$ tal que para todo $x$ satisfaciendo $0 < |x - a| < \delta$ , $|f(x)-0| <\epsilon$ .

Si $x$ es irracional, esto es trivial . Editar : como se ha discutido en los comentarios, esto no es tan trivial como creía.

Pero, ¿y si $x$ ¿es racional? Entonces $f(x) = 1/q$ como se muestra arriba, así que $$\left|\dfrac{1}{q}\right| < \epsilon\text{.}$$ Estoy acostumbrado a $\delta$ - $\epsilon$ problemas en los que puedo "trabajar hacia atrás" para encontrar $\delta$ , pero obviamente $1/q$ no es una función de $x$ y estoy perdido en cuanto a qué hacer aquí. I algo así como Entiendo la discusión en Spivak, pero no entiendo cómo la discusión me ayuda a encontrar $\delta$ Así que pensé que alguien aquí podría iluminarme.

Como se menciona en los comentarios, no estoy de acuerdo en que esto sea un duplicado.

Answer 1

Dejemos que $a \in (0,1)$ .

Para cualquier $\epsilon > 0$ , elija $N \in \mathbb{N}$ tal que $1/N < \epsilon$ .

Sólo hay un número finito de números racionales $r = p/q \in (0,1)$ en términos mínimos con $q \leqslant N$ . De hecho, $r \in S_a =\{1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, ..., (N-1)/N\}.$

Desde $S_a$ es finito podemos elegir $\delta$ tal que $0 <\delta < \min\{|r - a|: r \in S_a\, r \neq a\}$ .

Considere cualquier $x \in (0,1)$ con $ 0 < |x-a| < \delta$ . Si $x$ es irracional entonces $f(x)=0$ y $|f(x) - 0|= 0 < \epsilon.$

Si $x$ es racional y $x = p/q$ en términos mínimos, entonces $q > N$ y $|f(x) - 0| = 1/q < 1/N < \epsilon.$

Por lo tanto, $\lim_{x \to a}f(x) = 0.$

Answer 2

Sugerencia: para $a \in (0, 1)$ y $1/a < n \in \Bbb{N}$ , considere el intervalo $I = (a - 1/2n, a + 1/2n)$ (que tiene una longitud $1/n$ ): cuántos números racionales $p/q \in I$ (con $p$ y $q$ coprima) puede tener $q \le n$ ?

Answer 3

Hay que tener en cuenta que si una secuencia $x_n=p_n/q_n$ de números racionales converge a un número irracional $x$ , entonces necesariamente $q_n\to\infty$ . De hecho, si no fuera así, existiría una subsecuencia de $p_n/q_n$ convergiendo a $x$ con la subsecuencia correspondiente de $q_n$ delimitado, etc.