múltiplo negativo de haz lineal amplio no tiene sección global

Question

Sea $X$ sea una variedad sobre campo algebraicamente cerrado $k$ , $\dim X > 0$ y que $H$ es un divisor de Cartier amplio en X. Supongamos que $m < 0$ . Demuestre que $\mathcal{O}(mH)$ no tiene secciones globales.

Mi resultado hasta ahora es que si $X$ es una curva completa no singular, entonces se deduce del teorema de Riemann-Roch que $H$ al ser amplia implica que $\deg H > 0$ (ya que de lo contrario $kH$ no sería muy amplia para lo suficientemente grande $k$ ), por lo que $\deg mH < 0$ y Riemann-Roch implica de nuevo que $\mathcal{O}(mH)$ no tiene secciones globales distintas de cero.

Por lo tanto, podemos concluir que cada sección global de $\mathcal{O}(mH)$ es cero en cada no-singular completo $Y \subset X$ . Si pudiéramos demostrar que el conjunto de puntos $p \in X$ que pertenecen a alguna curva completa no sinular es densa, se seguiría el resultado. Sin embargo, no estoy seguro de que eso sea cierto.

Además, ¿hay algún argumento sencillo que evite utilizar Riemann-Roch en este caso? ¿Podemos relajar de algún modo los supuestos sobre X?

Answer 1

Supongamos que $X$ es reducida, con componentes conexas de dimensión positiva, y es proyectiva sobre un campo (lo cual no está implicado por la existencia de una gavilla amplia siguiendo la definición estándar de amplia y de muy amplia). Entonces es cierto que para cualquier $n\ge 1$ , $O_X(-nH)$ no tiene secciones globales distintas de cero.

Como la restricción de un divisor amplio a una componente conexa es amplia, basta con trabajar con conexas y reducidas $X$ en cuyo caso $H^0(X, O_X)$ es un campo.

Si $O_X(-nH)$ tiene una sección global distinta de cero $s$ entonces para cualquier entero positivo $d$ , $s^{\otimes d}$ es una sección global no nula de $O_X(-ndH)$ . Ahora bien, como usted ha dicho, si $d$ es lo suficientemente grande, $ndH$ es muy amplio, por lo que $ndH$ es linealmente equivalente a un divisor efectivo $D$ (incrustado $X$ en algún espacio proyectivo utilizando $O_X(ndH)$ Lleva el rastro a $X$ de un hiperplano). Tenemos $D\ne 0$ porque de lo contrario $X$ sería afín (o si lo prefiere, un hiperplano en un espacio proyectivo que contenga $X$ debe cumplir $X$ cuando $\dim X\ge 1$ ). Esto implica que $O_X(-ndH)\cong O_X(-D)$ es una gavilla de ideales. Basta entonces con demostrar que $H^0(X, O_X(-D))=0$ . Pero esto se deduce inmediatamente del hecho de que $H^0(X, O_X)$ es un campo y cualquier sección global de $O_X(-D)$ tiene un cero en algún lugar de $X$ .

Si $X$ no se reduce, con la gavilla de ideales nilpotentes $N$ La cuestión es si $N(-D)$ tiene una sección global distinta de cero. Creo que la respuesta es sí, esto puede ocurrir. No tengo un ejemplo explícito, pero no me queda claro si considera variedades algebraicas no reducidas...