Tiene baja semi-continuidad en la topología de Zariski y esto es más general, por la restricción de $f$ cualquier $G$-subvariedad $Z\subseteq V$ y vamos a necesitar para inductivo prueba en $n:=\dim(Z)$, de todos modos. Tenga en cuenta que la demanda es trivial para $n=0$.
Deje $K:=\bigcap_{v\in Z} G_v$ ser el subgrupo de que se estabilice cada punto de la variedad $Z$. Este es un subgrupo normal porque para cualquier $g\in G$, $h\in K$ y cualquier $v\in Z$, $ghg^{-1}.v=gg^{-1}.v=v$ porque $h$ estabiliza $g^{-1}.v$ y, por tanto,$ghg^{-1}\in K$. Tenemos un inducida por la acción de $H:=G/K$$Z$.
El conjunto $U:=\{ v\in Z \mid H_v=\{1\} \}=\{v\in Z\mid G_v=K\}$ es Zariski-abierto y denso en $Z$. De hecho, el cociente de morfismos $Z\to Z/\!/H$ es un número finito de morfismos, de ahí que sus fibras son genéricamente de cardinalidad $|H|$ porque $H$ actos fielmente. Tenga en cuenta que $f(u)=\dim(V^K)$ todos los $u\in U$.
El conjunto abierto $U$ $G$- invariante y por lo tanto, el complemento de a $Y:=Z\setminus U$ $G$- invariante y $\dim(Y)<\dim(Z)$. Por lo tanto, podemos considerar la acción de la $G$ $Y$ y sabemos por inducción que $f$ es inferior semi-continua en $Y$. Tomar cualquier punto de $y\in Y$, entonces sabemos $K\subsetneq G_y$ por la construcción. Por lo tanto, $V^{G_y}\subseteq V^{K}$. Esta inclusión es estricta porque $U\subseteq V^K$ pero $U\nsubseteq V^{G_y}$. Por lo tanto,
$$f(y)=\dim(V^{G_y})<\dim(V^K).$$
De ello se sigue que el conjunto de $\{ v\in Z \mid f(v) < \dim(V^K) \}=Y$ es cerrado y el otro a nivel de conjuntos (contenida en $Y$) también están cerradas por inducción.
Uno podría nota que baja semi-continuidad en la topología de Zariski implica inferior semi-continuidad en la clásica topología debido a que el último es más fino. Ya que todos los conjuntos de nivel se cierra en el Zariski-topología, en particular, se cerró en el clásico de la topología.
