Una pregunta acerca de la no-negativo medibles función

Question

Aquí es la proposición que veo en Rudin Real y el análisis Complejo

Supongamos $f$ es una función medible en $[0,\infty]$ $E$ es un conjunto medible con respecto a la medida $\mu$

Deje $c$ ser una constante, $0 \leq c < \infty$

A continuación, $\int_Ecfd\mu = c\int_Efd\mu$

Me pregunto por qué no permitimos a c a $\infty$.

Si $c$ es permitido ser $\infty$, $\int_Ecfd\mu = c\int_Efd\mu$ no es cierto?

Answer 1

Esto también es cierto para $c=\infty$, como se puede ver mediante el uso de la monotonía teorema de convergencia y mediante la aplicación de la reclamación a $c_n =n$.

No tengo el libro aquí ahora, así que no te puedo decir exactamente por qué Rudin no permitir $\infty$ en que la Proposición. Tal vez es (más o menos) inmediatamente después de la definición de la integral, de modo que él no tiene la monotonía teorema de convergencia en la mano todavía. Tenga en cuenta que Rudin no permitir que las funciones simples para tomar el valor de $\infty$ (IIRC), por lo que la prueba para $c=\infty$ utilizando sólo la definición de la integral no es directamente evidente.

Answer 2

La respuesta viene creo que a partir de la definición que involucran funciones simples, ver Rudin Real y Complejo Análisis de la definición 1.16. Rudin específicamente hace la observación "tenga en cuenta que nosotros explícitamente excluye $\infty$ a partir de los valores de una función simple." Creo que esta es su justificación, viendo como las integrales de no negativo funciones son el supremum de integrales sobre las funciones simples. El problema está en la prueba usual, donde dividimos por $c$.

Edit: Considerar $c=\infty$, $f$ medibles, y considerar la posibilidad de $\int_E cfd\mu$. A continuación, queremos $\int_E cf=\sup\{\int_E sd\mu, 0\leq s\leq cf, s \text{ simple}\}$. Bueno, ya $cf=\infty$ siempre $f\neq 0$, entonces cada $s$ simple satisface esta propiedad. En particular, si $\mu(E)>0$, e $f\neq 0$ sobre un conjunto de medida positiva, entonces podemos encontrar una $s$ tal que $\int_E s=M$ cualquier $M>0$. Esto implica $\int_E cf=\sup\{M>0\}=\infty$. Pero si $f=0$.e., a continuación,$cf=0$.e. así, por lo $\int_E cfd\mu=0$ Asimismo, considerar la posibilidad de $c\int_E fd\mu$. Lo que si $\mu(E)>0$$\int_E fd\mu=0$? A continuación,$f=0$.e. Bueno, esto está muy bien, por lo $c\int_E fd\mu=\infty\cdot 0=0$. Si $f\neq 0$ sobre un conjunto de medida positiva, a continuación,$\int_E f>0$, lo $c\int_E f=\infty$. A consecuencia de ello, de acuerdo. Así que don;t realmente creo que hay un problema con la extensión de a $c=\infty$.