¿El problema de la energía infinita del electrón como carga puntual?

Question

Imagina un universo infinito vacío con un solo electrón en reposo. Veamos la configuración del campo eléctrico en dicho universo vacío.

La respuesta estándar sería $E\propto 1/r^2$.

Sin embargo, al calcular la energía $(\propto E^2)$ de dicho campo eléctrico, debido a la singularidad en $r=0$ obtenemos

$$ \int_{0}^\infty 4\pi r^2 r^{-4} dr=\infty $$

En contraste, sabemos que en realidad esta energía debería ser como máximo 511keV: liberada al aniquilarse con positrón.

Obtendríamos 511keVs si integramos desde $r_0\approx 1.4$fm en lugar de cero - necesitamos una deformación del campo eléctrico en la escala de femtómetros para que la energía del campo eléctrico por sí sola no exceda la masa del electrón.

Se dice vagamente que este problema se resuelve mediante QED (¿cómo exactamente?), pero aún queda una especie de pregunta básica: ¿cuál sería objetivamente el campo eléctrico para un solo electrón en reposo en un universo vacío?

He encontrado dos intentos para resolver este problema fundamental:

1. Que la polarización del vacío reduce el campo eléctrico cerca de la singularidad (¿es satisfactorio?).

2. En modelos de partículas solitónicas (diapositivas) tenemos $E\propto q(r)/r^2$, donde la carga efectiva $q(r)$ es prácticamente constante para $r$ grande, pero $q(r)\to 0$ para $r\to 0$ para prevenir energía infinita. Esto se logra activando el potencial de Higgs, deforma electromagnetismo en interacción débil/fuerte para regularizar la energía infinita. Este tipo de efecto se observa como constante de acople variable.

¿Puede esa polarización del vacío reducir la energía de la carga puntual por debajo de 511keV? ¿O tal vez hay otras soluciones razonables a este problema?

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Aclaración: Veo que nadie defiende la explicación de la polarización del vacío, pero hay muchas reclamaciones de "imposibilidad" y evasión de respuestas, así que permíteme elaborar brevemente sobre la solución a este problema sugerida por solitones topológicos.

Veamos el campo vectorial más simple en 2D con un potencial similar al de Higgs para preferir vectores unitarios:

Requiriendo vectores unitarios, la configuración $u(x)=x/|x|$ también tendría energía infinita debido a la discontinuidad en el centro. Como en el diagrama, se regulariza al salir del mínimo del potencial de Higgs (vectores unitarios) - hasta llegar al vector cero en el centro, permitiendo realizar dicha carga topológica usando solo energía finita.

Para recrear el electromagnetismo en 3D para cargas topológicas como cargas eléctricas, podemos usar el teorema de Gauss-Bonnet en lugar de la ley de Gauss: dice que al integrar la curvatura sobre una superficie cerrada, obtenemos la carga topológica dentro de esta superficie.

Por lo tanto, interpretando la curvatura de un campo más profundo como campo eléctrico (análogamente a B), y usando el Lagrangiano estándar para ello, podemos recrear el electromagnetismo con dos problemas corregidos: la ley de Gauss permitiendo solo cargas enteras (topológicas) (incluida la cuantización de carga) y con cargas que contienen solo energía finita - algunos artículos.

¿Hay algún problema con esta explicación de la energía finita de una carga, o tal vez hay algunas explicaciones mejores?

Answer 1

Este problema está altamente relacionado con el hecho de que la masa del electrón requiere renormalización en la QED. Ambos surgieron de la misma idea física básica: nuestras teorías no se mantienen en escalas de longitud arbitrariamente pequeñas. Al calcular la autoenergía, se asume que el concepto de un campo electromagnético se mantiene en todas las escalas, lo cual posiblemente no sea el caso.

Una forma de remediar esta situación es darle al electrón un radio finito, pero pequeño. Entonces, la autoenergía se da por (tomando $\epsilon_0=1$)

$$U=\frac{e^2}{2}\int_{r_e}^{\infty}\frac{\mathrm{d}r}{r^2}=\frac{e^2}{2r_e}.$$

Ahora, la masa del electrón que medimos en el laboratorio se dará por (tomando $c=\mu_0=1$)

$$m(r_e)=m_0+\frac{e^2}{2r_e},$$

donde $m_0$ es conocida como la "masa desnuda". Lo que debemos hacer ahora es pensar en lo que sucede cuando tomamos $r_e\to 0$. Claramente, si $m_0$ es solo un número, esto provocaría que la masa medida se vuelva infinita. Sin embargo, si $m_0$ es formalmente infinito y negativo, entonces $m(r_e)$ se vuelve positiva y finita, si el valor se ajusta correctamente.

Ahora, esto parece bastante filosófico (y de alguna manera es algo esotérico), pero se puede utilizar para hacer predicciones. En términos generales, el radio que le dimos al electrón es inversamente proporcional a la escala de energía más alta en la teoría, llamémosla $\Lambda$. En unidades donde $\hbar=1$, simplemente podemos escribir $r_e=1/\Lambda$. Entonces tenemos

$$m(\Lambda)=m_0+\frac{e^2}{2}\Lambda.$$

Ahora, si consideramos que somos capaces de investigar otro corte de energía $\Lambda'$, entonces

$$m(\Lambda')-m(\Lambda)=\frac{e^2}{2}\left(\Lambda'-\Lambda\right),$$

¡lo cual nos permite predecir cómo cambia la masa del electrón con la escala de energía de observación! Esta es esencialmente la filosofía de la renormalización, y cobra vida propia en las Teorías Cuánticas de Campos.

¡Espero que esto ayude!

PD: Siéntete libre de corregirme en cualquier lugar. Estoy seguro de que cometí algunos errores algebraicos o conceptuales en algún lugar.

Answer 2

Debe separar los modelos utilizados para describir las partículas elementales.

El modelo clásico de singularidad $\tfrac{1}{r^2}$ depende de medir el campo eléctrico con una carga de prueba, es decir, es la fuerza percibida por la carga de prueba en el campo de la carga sujeta. Normalmente, la carga está en un volumen extendido en mediciones clásicas, pero es cierto que el formalismo teórico lleva a un infinito si la partícula es un punto.

La mecánica cuántica resuelve este problema para la interacción de dos cuerpos mediante la cuantización de los niveles de energía a medida que la carga de prueba se acerca al centro de la carga sujeta, y tiene un estado base que no permite la superposición de cargas, si es un electrón midiendo un positrón. Es así como se forman los átomos, el electrón nunca aterriza en el protón en el hidrógeno.

El positronio existe por algún tiempo hasta que la probabilidad de superposición de electrón y positrón conduce a dos fotones, y los tiempos de vida coinciden con los cálculos de la ECD.

Es cierto que el modelo estándar tiene las partículas elementales en su tabla como partículas puntuales, pero es un modelo de teoría de campos cuánticos, las partículas puntuales no son lo mismo que las partículas reales. Las partículas reales son modeladas por paquetes de ondas.

Estoy seguro de que se pueden idear modelos más complicados para mediciones específicas, pero uno debe recordar que el nivel subyacente de la física clásica es mecánica cuántica. Lo clásico emerge de lo cuántico,, no al revés, y la singularidad clásica es solo una singularidad en un modelo que se ajusta a mediciones clásicas, eso es todo, en mi opinión.

Answer 3

La energía electrostática infinita de un electrón está relacionada con la idea de que el trabajo necesario para acumular su carga por cargas infinitesimales en un punto contra las fuerzas electrostáticas que ejercen entre sí es infinito. Esto también está relacionado con la energía del campo electrostático infinito de la partícula puntual. Sin embargo, el electrón no ha sido ensamblado mediante un proceso así. Hasta donde sabemos, siempre ha existido como una partícula puntual con una carga elemental. Por lo tanto, esta supuesta energía potencial infinita no puede ser extraída del electrón. Suele ser ignorada o "restada" como otras infinitudes en la física teórica.