¿Cuál es el valor de esta fracción infinita, donde cada uno de los sucesivos recuentos de filas hasta una potencia de dos?

Question

Aquí es la fracción $$\frac{1}{\cfrac{2}{\cfrac{4}{8\cdots+9\cdots}+\cfrac{5}{10\cdots+11\cdots}} + \cfrac{3}{\cfrac{6}{12\cdots+13\cdots}+\cfrac{7}{14\cdots+15\cdots}}}$$

He intentado recorrer en fila por fila, a ver si la fracción converge, sin embargo parece que para saltar hacia atrás y adelante entre un pequeño y un poco más grande número entre cada iteración.

Para $(n,x)$ donde $n$ es el número de filas calculado, y $x$ es el valor de toda la fracción, he encontrado los puntos $(1,1)$, $(2,0.2)$, $(3,2.207547169)$, $(4,0.0956302360)$, $(5,4.5138490341)$, y $(6,0.04730978991)$. Es allí cualquier manera de encontrar un valor para toda la fracción, continuando hasta el infinito?

Answer 1

Deje $a_n$ el valor de la secuencia:

$$ a_n = \dfrac{1}{\dfrac{2}{\dfrac{4}{\vdots} + \dfrac{5}{\vdots}} + \dfrac{3}{\dfrac{6}{\vdots} + \dfrac{7}{\vdots}}}. $$

Hagamos una observación. La regla general es que cada una de las parte más inferior entero $m$ es reemplazado por $\frac{m}{2m + (2m+1)}$ en el siguiente paso. Mediante la aplicación de esta regla dos veces, esta $m$ es reemplazado por

$$ \phi(m) := \frac{m}{\frac{2m}{4m + (4m+1)} + \frac{2m+1}{(4m+2)+(4m+3)}} = \frac{m(8m+1)(8m+5)}{32m^2 + 20m + 1} \geq 2m. \tag{$\diamante$} $$

Ahora es fácil notar que la sustitución de la parte inferior-la mayoría de los términos por el mayor valor aumenta el valor de $a_{2k+1}$ y disminuye el valor de $a_{2k}$. A partir de esta relación, no es difícil comprobar que

$$a_{2k+1} \geq 2^k \quad \text{and} \quad a_{2k} \leq \frac{1}{5 \cdot 2^{k-1}}. $$

Por lo tanto,$a_{2k+1} \to \infty$$a_{2k} \to 0$$k \to \infty$.

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Más formalmente, definimos $f_n : (0, \infty)^{2^{n-1}} \to \Bbb{R}$ inductivamente por

$$f_1(x_1) = x_1, \qquad f_{n+1}(x_1, \cdots, x_{2^{n}}) = f_n \left( \frac{2^{n-1}}{x_1 + x_2}, \frac{2^{n-1} + 1}{x_3 + x_4}, \cdots, \frac{2^n - 1}{x_{2^n - 1} + x_{2^n}} \right). \tag{*}$$

Entonces podemos escribir $a_n = f_n (2^{n-1}, \cdots, 2^n - 1)$ y la utilización de la observación de $(\diamond)$ muestra que

$$ a_{n+2} = f_n(\phi(2^{n-1}), \cdots, \phi(2^n - 1)). $$

Ahora por la construcción de la $\text{(*)}$, podemos inductivamente demostrar que los siguientes son verdaderas:

• $f_{2k+1}$ es creciente en cada variable y $f_{2k+1}(\lambda \mathrm{x}) = \lambda f_{2k+1}(\mathrm{x})$$\lambda > 0$,

• $f_{2k}$ es decreciente en cada una de las variables y $f_{2k}(\lambda \mathrm{x}) = \lambda^{-1} f_{2k}(\mathrm{x})$$\lambda > 0$.

Así tenemos

\begin{align*} a_{2k+1} &= f_{2k-1}(\phi(2^{2k-2}), \cdots, \phi(2^{2k-1} - 1)) \\ &\geq f_{2k-1}(2\cdot 2^{2k-2}, \cdots, 2 \cdot (2^{2k-1} - 1) ) \\ &= 2 f_{2k-1}(2^{2k-2}, \cdots, 2^{2k-1} - 1 ) \\ &= 2 a_{2k-1} \end{align*}

y, por tanto,$a_{2k+1} \geq 2^k a_1 = 2^k$. Del mismo modo,

\begin{align*} a_{2k+2} &= f_{2k}(\phi(2^{2k-1}), \cdots, \phi(2^{2k} - 1)) \\ &\leq f_{2k}(2\cdot 2^{2k-1}, \cdots, 2 \cdot (2^{2k} - 1) ) \\ &= \frac{1}{2} f_{2k}(2^{2k-1}, \cdots, 2^{2k} - 1 ) \\ &= \frac{1}{2} a_{2k} \end{align*}

y, por tanto,$a_{2k} \leq \frac{1}{2^{k-1}} a_2 = \frac{1}{5\cdot 2^{k-1}}$.