¿Cómo podemos definir la infinita suma de $1$$-1$?

Question

$1-1+1-1+1-1+1-1+1-1......$

parece que la primera vez que este es igual a $0$

pero hemos de volver a organizar esta suma

$1+(1-1)+(1-1)..... $

por lo que la suma es $1$

En este caso,

qué decimos que esta suma es indefinido?

Answer 1

Sí, decimos que la serie es divergente, y su suma es indefinido. Pero la respuesta a la pregunta del título:

¿Cómo podemos definir la infinita suma de 1 y -1?

Existen diferentes definiciones de la generalizada sumas que se aplican a la divergencia de la serie. Los métodos más importantes que se aplican a esta serie se enumeran aquí: Wikipedia:Resumen de Grandi de la serie. Brevemente, el Cesàro suma, Abel suma, y Borel suma de la serie es $\frac12$.

Answer 2

Claramente para cada una de las $n \in \mathbb N$, $$U_n=(-1)^n$$

Ahora observar que

$U_{2n}=(-1)^{2n}=1$ y

$U_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1$ .

Por lo que $$U_n= \left\{\begin{matrix} &1& ; n \text{ is even}\\ &-1& ; n \text{is odd} \end{de la matriz}\right.$$

Entonces $\displaystyle \lim_{n \to \infty}U_n \neq 0$ $\Rightarrow \sum U_n$ diverge.