Cómo puedo probar que una matriz cuadrada es invertible si satisface esta ecuación polinómica?

Question

Para una matriz de 3x3 $C$, dado que

$$C^3+I=3C^2-C$$

Entonces estoy obligado a probar que $C$ es invertible.

Me han tratado de una prueba, a continuación, pero no estoy seguro de si es válida o si hay una mejor solución.

Intento de prueba

$$C^3 + I = 3C^2 - C$$ $$I = - C^3 +3C^2-C$$

Si se supone que $C^{-1}$ existe

$$I = C^{-1}(-C^4+3C^3-C^2)$$ Si $C^{-1}$ está definida,$I=C^{-1}C$; por lo tanto, comprobar si

$$C \stackrel{!}{=} -C^4 + 3C^3 - C^2$$ $$ 0 = -C^4 + 3C^3 - C^2 - C$$ $$ C = 0, 1, 1\pm\sqrt{2}$$

Es esto en absoluto en la dirección correcta?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ I=-C^3+3C^2-C=C (A-C^2+3C-I) $$ Por lo tanto $C$ es invertible y $C^{-1}=-C^2+3C-I$.

Answer 2

Restar para obtener $$I=-C^3+3C^2-C$$ A continuación, el factor de conseguir $$I=C(-C^2+3C-I)$$ Ahora usted tiene $I=CD$$D=-C^2+3C-I$. Por lo tanto $C$ es invertible.

Answer 3

$$C^3+I=3C^2-C$$ $$I=-C^3-3C^2-C$$ $$\det(I)=\det(-C^3+3C^2-C)=\det(C)\det(-C^2+3C-I)$$ Suponga $C$ a no es invertible, es decir,$\det(C)=0$, entonces de la ecuación anterior se obtendría $\det(I)=0$, que es una contradicción, ya que $\det(I)=1$.

Answer 4

Si $C$ a no es invertible, se tiene un no-trivial en el espacio nulo y por lo tanto no trivial de la autovector $v$ con autovalor $\lambda=0$.

Tenemos $(C^3+I)v=(3C^2-C)v$ donde $(\lambda^3+1)v=(3\lambda^2-\lambda)v$ y ajuste de $\lambda=0$ vemos que $v=0$, lo cual es una contradicción.

Más fácil (y, de hecho, más general) para el uso de la explícita inversa en las otras respuestas, pero esta es una forma de utilizar los autovalores como se sugiere en su respuesta.

Answer 5

La hipótesis original implica $C$ aniquila el polinomio $X^3-3X^2+X+1$.

Pero $X^3-3X^2+X+1=(X-1)(X-\sqrt2-1)(X+\sqrt2-1)$

Por lo tanto, $C$ es diagonalizable, pero lo más importante es que su determinante es el producto de sus valores propios, por lo tanto $|\det(C)|=1$ $C$ es invertible.

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Por el bien de la generalidad, para $n\times n$ matriz, $C$ todavía aniquila $(X-1)(X-\sqrt2-1)(X+\sqrt2-1)$.

Por primera Descomposición Lema , $C$ es diagonalizable con autovalores $1$, $1-\sqrt{2}$, $1+\sqrt{2}$

De ahí que haya cero no determinante.