Frattini subgrupo del grupo aditivo de los números racionales

Question

Mostrar que Frattini subgrupo del grupo aditivo de los números racionales $(\mathbb{Q},+)$ es en sí mismo, o $$\Phi(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$$

PS. Mi estrategia es demostrar que el grupo de $(\mathbb{Q},+)$ no ha de máxima normal de los subgrupos. Suponga que $\mathbb{Q}$ tiene máxima normal de los subgrupos $M$, entonces a partir de la $(\mathbb{Q},+)$ abel, por lo que nilpotent, y cumple con las normalier condición. por lo tanto $M$ es un subgrupo normal de $\mathbb{Q}$ y tiene un índice de prime.

Me pueden ayudar a mostrar que $\mathbb{Q}$ no un subgrupo de índice de prime? Gracias.

Answer 1

Sugerencias:

1) $\,\Bbb Q\,$ es divisible grupo, es decir:

$$\forall\,q\in\Bbb Q\,\,\,and\,\,\,\forall\,0<n\in\Bbb N\,\,\,\exists\,r\in\Bbb Q\,\,\,s.t.\,\,\,q=nr$$

2) Una imagen homomórfica de una divisible grupo es divisible

3) Un grupo finito no puede ser divisible

4) Un subgrupo normal $\,M\,$ de un grupo de $\,G\,$ es la máxima adecuada subgrupo iff $\,G/M\,$ es finito de orden de un primer

Por todo lo anterior, se sigue entonces que $\,\Bbb Q\,$ no puede tener la máxima subgrupos.

Answer 2

Deje $G$ ser un trivial adecuada subgrupo de $\Bbb Q$ (es automáticamente normal, ya que $\Bbb Q$ es conmutativa). Nos muestran que hay un $H\supsetneq G$ apropiado de los subgrupos.

En primer lugar, $G$ contiene un número entero distinto de cero $a$ (desde $G$ tiene algún valor distinto de cero elemet $a/b$, lo $a\in G$$-a\in G$). Hay un positivo menor que entre ellos, podemos asumir que $a$ es tal. Si $a> 1$, $G/a:=\{\frac xa\mid x\in G\}$ buena: todavía no contenga $1/a$, pero ya contiene $1$.

Por lo tanto, podemos asumir que $a=1$, es decir,$\Bbb Z\subseteq G$. A continuación, vamos a $b:=\min\{n>0\mid \frac1n\notin G\}$. A continuación, $G/b$ va a ser un buen intermedio subgrupo de nuevo.

Answer 3

Para abelian los grupos, los (propios) de la máxima subgrupo finito de índice (de hecho el primer índice), por si $M$ es un subgrupo maximal de a $G$, y (como subgrupos de abelian grupo son normales) si $G/M$ es infinito, entonces contiene un adecuado no trivial subgrupo, contradiciendo maximality de $M$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que $\mathbb{Q}$ no tiene subgrupos de índice finito. Para, si $M$ es subgrupo de índice$k\geq 1$$\mathbb{Q}$, considere la posibilidad de cualquier racional $a/b$ en forma reducida. Como $\mathbb{Q}/M$ orden $k$, cada elemento de la $\mathbb{Q}$ agregado $k$ a veces $0$ va a caer en $M$. Pero, $a/b=k(a/kb)\in M$, es decir,$\mathbb{Q}=M$. q.e.d