Relación de los volúmenes de $n$-dimensiones de la unidad de bolas

Question

Demostrar que $$\left( \frac{nS_n}{S_{n-1}}\right)^{1/n} \le 2$$ where $S_i$ is the volume of the $i$th dimensional unit ball and $n\ge 2$.

Creo que podemos usar el hecho de que un $n$-dimensiones de la unidad de bola es contenido en un hipercubo cuyo borde medidas de $2$ unidades, y la bola contiene un hipercubo cuyo borde medidas de $\sqrt{2}$ unidades. Así que tenemos $\sqrt{2}^n\le S_n \le 2^n$ e lo $$\left( \frac{nS_n}{S_{n-1}}\right)^{1/n} \le \left( \frac{n2^n}{\sqrt{2}^{n-1}} \right)^{1/n} = n^{1/n}2^{\frac{n+1}{2n}} = n^{1/n}\sqrt{2}\sqrt{2}^{1/n}.$$

Así que si tomamos $n^{1/n} \le 2$$\sqrt{2}^{1/n}\le \sqrt{2}^{1/2}$, una cota superior a mi problema es $2^{1+3/4}$ que no es lo suficientemente bueno.

¿Necesitamos otro enfoque o vamos a llegar mejor a los límites en $n^{1/n}$?

Answer 1

Es suficiente para demostrar que $S_n\leq 2\,S_{n-1}$, lo que es trivial, ya que

$$\{(x_1,\ldots,x_{n-1}):x_1^2+\ldots+x_{n-1}^2\leq 1\}\times[-1,1]\supset \{(x_1,\ldots,x_{n}):x_1^2+\ldots+x_{n}^2\leq 1\}.$$ Más $n\geq 2$, $(2n)^{1/n}$ alcanza su máximo, $2$,$n=2$.

Answer 2

Dado que el volumen de una $n$-dimensiones de la unidad de bola es (véase el volumen de un $n$- ball)$$ S_n = \frac{pi^{\frac{n}{2}}}{Γ\left( n + \frac{1}{2} \right)}, $$ a continuación,\begin{align*} \left( \frac{nS_n}{S_{n - 1}} \right)^{\frac{1}{n}} \leqslant 2 &\Longleftrightarrow \frac{n \sqrt{π} \cdot Γ\left( n - \frac{1}{2} \right)}{Γ\left( n + \frac{1}{2} \right)} \leqslant 2^n\\ &\Longleftrightarrow \frac{n \sqrt{π}}{n - \frac{1}{2}} \leqslant 2^n. \end{align*} Porque$$ 2^n \geqslant 4 > 2 \sqrt{pi} \geqslant \frac{n \sqrt{pi}}{n - \frac{1}{2}}, $$ a continuación,$\displaystyle \left( \frac{nS_n}{S_{n - 1}} \right)^{\frac{1}{n}} \leqslant 2$.