Usted tiene el derecho idea general, pero que en realidad no ha definido una secuencia o se demostró que converge. Creo que usted está recibiendo estos dos pasos se confunden: el procedimiento que se utiliza para probar la secuencia converge es una útil guía de cómo usted quiere definir la secuencia, pero la definición de la secuencia y demostrar que converge son tareas independientes.
Para definir una secuencia $(q_n)$, lo que tienes que decir cómo encontrar $q_n$ si me dará $n$. Le he dicho a recoger $q_n$ tal que $r-\epsilon<q_n<r+\epsilon$, pero ¿qué es $\epsilon$? Deberá especificar cómo se $\epsilon$ se define en términos de $n$. Tenga en cuenta que nosotros no queremos hablar de un arbitrario $\epsilon$ en este momento, que sólo llegará cuando estamos demostrando que $(q_n)$ converge a $r$. Con el fin de definir $q_n$ en el primer lugar, tenemos que ser específico sobre exactamente qué propiedades que las definen, y por lo tanto deben especificar todos nuestros números.
Intuitivamente, queremos que la $q_n$ a acercarse más y más a $r$ $n$ se hace más grande. Esto sugiere queremos hacer sus "$\epsilon$" se hacen más pequeños y más pequeños como $n$ se hace más grande. Hay un montón de maneras de hacer esto; una forma sencilla es tomar el $\epsilon$$1/n$. Así que para ser más precisos, estamos definiendo $q_n$ a de ser algún número racional tal que $$r-\frac{1}{n}<q_n<r+\frac{1}{n}$$ for each $n$. We know such a $q_n$ exists by the density of $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$.
Ahora tenemos que demostrar que la secuencia de $(q_n)$ realmente converge a $r$. Aquí es donde la arbitraria $\epsilon$. Deje $\epsilon>0$. Queremos demostrar que no existe $N$ tal que para todo $n\geq N$, $r-\epsilon<q_n<r+\epsilon$.
Por lo tanto, necesitamos de alguna manera $N$ en términos de $\epsilon$. ¿Qué necesitamos saber acerca de $n$, para decir que $r-\epsilon<q_n<r+\epsilon$? Bien, sabemos que el $r-1/n<q_n<r+1/n$, así como el $1/n\leq \epsilon$, podemos concluir que $r-\epsilon<q_n<r+\epsilon$. Tan sólo tenemos que elegir a $N$ a ser tal que $1/n\leq\epsilon$ siempre $n\geq N$. Para ello, podemos optar $N$ a ser cualquier número entero tal que $N\geq 1/\epsilon$. Y que completa el argumento!
Os animo a probar a escribir el argumento anterior de manera más formal como una prueba. Oculto a continuación es cómo yo podría escribir:
Deje $r$ ser un número real. Para cada una de las $n\in\mathbb{N}$, vamos a $q_n$ ser un número racional tal que $$r-\frac{1}{n}<q_n<r+\frac{1}{n}.$$ Such a rational number exists because $\mathbb{Q}$ is dense in $\mathbb{R}$. These numbers form a sequence $(q_n)$ of rational numbers which I claim converges to $r$. $${}$$ To prove that $(q_n)$ converges to $r$, let $\epsilon>0$. Let $N$ be any integer such that $N\geq1/\epsilon$. Then for any $n\geq N$, $1/n\leq1/N\leq\epsilon$. We thus have $$r-\epsilon\leq r-\frac{1}{n} < q_n < r+\frac{1}{n}\leq r+\epsilon.$$ That is, for any $n\geq N$, $$|q_n-r|<\epsilon.$$ Since $\epsilon>0$ was arbitrary, this proves that $(q_n)$ converges to $r$.
