Infinita Suma De Cálculo: $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{3}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

Question

Problema

Demostrar la siguiente equivalencia: $$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{3}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$

---

Buenas tardes, queridos StackExchange de la comunidad. Estoy estudiando análisis real (el tema ahora es el intercambio de límites) y yo no puedo envolver mi cabeza alrededor de este problema. Podría ser un duplicado, pero no pude encontrar un hilo que me ha ayudado a resolver este problema.

Además, sé que los dos términos es igual a $\frac{\pi^2}{8}$ (cortesía de Wolframalpha), pero creo que debería mostrar el original de los problemas a través de intercambio de los límites de la doble serie o con analyising los sumandos, porque ya no podemos introducir la identidad de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi}{6}$ todavía.

Mis Intentos

Si consideramos que los primeros sumandos de ambas sumas, tenemos:

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \frac{1}{(2k+1)^2} & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{25} & \frac{1}{49} & \frac{1}{81} & \frac{1}{121} & \frac{1}{169} \\ \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \frac{1}{n^2} & / & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{9} & \frac{1}{16} & \frac{1}{25} & \frac{1}{36} \\ \hline \end{array}

Vemos enseguida que en $\frac{1}{n^2}$ es cada sumando de a $\frac{1}{(2k+1)^2}$ está incluido. Además, vemos que el extra sumandos en $\frac{1}{n^2}$ tiene la forma $\frac{1}{(2x)^2}$.

Por lo tanto, se podría escribir,

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}$$

y la ecuación original sería

$$\Rightarrow 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{3}{4} \left( 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}\right)$$.

Pero yo no sé cómo esto me podría ayudar.

---

De todos modos, la serie y el infinito sumas de dinero que me dan dolores de cabeza y agradecería cualquier ayuda o sugerencias. Gracias de antemano.

---

Wow! Gracias por la muy rápidas respuestas!

Answer 1

Whoa, retrocede un poco!

$$\begin{align}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} &= 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}\\&= \frac1{2(0)+1} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}\\&=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^2} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}\end{align}$$

Observe que $\frac1{(2k)^2}=\frac1{4k}$, de modo que

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac14\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}$$

Restar $\frac14\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ de ambos lados para obtener

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac34\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$$

Answer 2

Usted está casi listo,: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^2} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}$$ Observe que : $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^2}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4k^2}=\frac14\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$$ Finalmente : $$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{3}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$

Answer 3

$\displaystyle \begin{align}\sum_{n\ge 0} \dfrac{1}{(2n+1)^s}&= \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^s}-\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n)^s} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^s}(1-2^{-s}) \\ &= (1-2^{-s})\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s}\end{align}$

Poner a $s=2$ le da el resultado y, obviamente, lo anterior es cierto para $s\in\mathbb{N}$