¿Cómo puedo demostrar que una variable aleatoria converge en probabilidad?

Question

Me han planteado el siguiente problema:

Para $n \in \mathbb{N}^{*}$ , dejemos que $X_{n}$ sea una variable aleatoria tal que $\mathbb{P} \left[ X_{n} = \frac{1}{n} \right] = 1 - \frac{1}{n^{2}}$ y $\mathbb{P} \left[ X_{n} = n \right] = \frac{1}{n^{2}}$ . Hace $X_{n}$ ¿convergen en probabilidad?

Y la definición que me han dado para la convergencia en probabilidad de una variable aleatoria es:

Dejemos que $\left( T_{n} \right)_{n \geq 1}$ sea una secuencia de v.r. y $T$ a r.v. ( $T$ puede ser determinista). Entonces:

$T_{n}\overset{\mathbb{P}}{\underset{n \rightarrow \infty}\rightarrow} T$ si y sólo si $\mathbb{P} \left[ \left| T_{n} - T \right| \geq \epsilon \right] {\underset{n \rightarrow \infty}\rightarrow} 0$ para todos $\epsilon > 0$ .

Pero no entiendo cómo aplicar esta definición al problema. Ni siquiera estoy seguro de lo que se supone que debo ver si $X_{n}$ está convergiendo a. No tenemos $X$ por lo que veo. ¿Puede alguien darme alguna idea sobre esto?

Answer 1

Fijar cualquier número $\epsilon>0$ . Entonces, por la densidad de los racionales, $\exists n\in \mathbb{Z}^+$ , de tal manera que $\epsilon>1/n$ . Entonces, $\forall m\ge n$ , $$P(X_m>\epsilon)\le P(X_m> 1/m )=\frac{1}{m^2}\stackrel{m\to \infty}{\to} 0$$ Por lo tanto, $X_m\stackrel{p}{\to}0 $ .

Answer 2

$X_n$ converge a $0$ en probabilidad como $n\to\infty$ . Para verlo, utilice La desigualdad de Markov es decir $$ P(X_n\ge\varepsilon)\le\frac{\operatorname EX_n}{\varepsilon}. $$

Answer 3

Dejemos que $m\in\mathbb N^*$ . Como puedes ver, $$\mathbb P\left\{X_n> \frac{1}{m}\right\}=0,$$ cuando $n>m$ . Por lo tanto, si $n\to \infty $ , se obtiene $$\lim_{n\to \infty }\mathbb P\left\{X_n>\frac{1}{m}\right\}=0,$$ y así, $$\forall m\in\mathbb N^*,\lim_{n\to \infty }\mathbb P\left\{X_n>\frac{1}{m}\right\}=0.$$