Parcial de la suma: versión integral

Question

En un libro sobre la teoría analítica de números, me encontré con dos lemas acerca parcial de la suma. La primera es la versión discreta de la suma parcial (Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Summation_by_parts) que tiene una simple prueba. Sin embargo, el libro también se menciona una versión integral de la suma parcial que establece:

Deje $h(x)$ ser continuamente una función derivable. Deje $A(x)=\sum_{n\leq x} a_n$. A continuación, $$\sum_{n\leq x} a_n h(n) = A(x)h(x)-\int_1^xA(u)h'(u)du.$$

La prueba de este teorema se deja como ejercicio, pero realmente no tengo ni idea de cómo empezar.

Answer 1

Hmm.. por lo $A$ es una función de paso que es constante en cada intervalo de $[n,n+1]$, sólo se puede utilizar el Teorema Fundamental en $h$, por lo que la integral se dará una diferencia de $h$ en los dos puntos finales veces una constante. A continuación, lo que realmente debe parecerse a los de la suma por partes de la fórmula que ya conocemos. También tenga en cuenta el último intervalo no es de la misma longitud $[ \lfloor x \rfloor , x ]$.