La evaluación de la integral de la $ \int_{-1}^{1} \frac{1}{(1+x^{2})(1-x^{2})^{1/4}}dx$

Question

He estado tratando de encontrar una manera de integrar a $\int_{-1}^{1}\frac{1}{(1+x^{2})(1-x^{2})^{1/4}}dx$ usando el contorno de la integración, pero estoy teniendo un tiempo difícil venir para arriba con un contorno que desea utilizar.

Ya tengo los puntos de ramificación en $-1, 1$, e $\infty$, necesito tener una rama de corte que permite la conexión de todos los 3 de estos puntos de ramificación, lo que significa que yo no creo que pueda utilizar cualquier tipo de hueso de perro de contorno.

También traté de hacer una sustitución a probar y hacer uso de algún tipo de contorno del ojo de la cerradura, pero yo estaba teniendo problemas con ese enfoque.

Alguna sugerencia sobre qué intentar?

Edit: Esto realmente necesita ser hecho usando el contorno de integración, no está destinado a ser resueltos con otros métodos.

Edit: La más prometedores de la cosa, por lo que creo, es tener un contorno que es un hueso de perro pero se abre en una línea hasta el infinito va por el eje real positivo. Así que tengo:

$* C_{1}$ Que es la porción superior del hueso de perro de $-1$ $1$

$* C_{2}$ A un pequeño círculo de radio $\epsilon$ punto $1$ recorrido en el sentido de las agujas como $\epsilon$ tiende a 0

$* C_{3}$ Una línea que se extiende desde $1$ $R$ $R$tiende a $\infty$

$* C_{4}$ Un círculo de radio $R$ recorrido en el sentido contrario como $R$ tiende a $\infty$

$* C_{5}$ Una línea de $R$ a punto de $1$ volviendo hacia el hueso de perro

$* C_{6}$ De la porción inferior de la circunferencia de radio $\epsilon$ punto $1$ recorrido en el sentido contrario

$* C_{7}$ De la porción inferior del hueso de perro de $1$ $-1$

$* C_{8}$ Un círculo de radio $\epsilon$ punto $-1$ recorrido en el sentido contrario.

A partir de aquí, yo debería ser capaz de obtener todo para ir a 0, excepto el de las integrales en $C_{1}$$C_{7}$, pero en lugar de eso estoy atascado con $C_{3}$ $C_{5}$ no cancelación de como se debe. No estoy seguro de si es justo que yo tenga difficlty en la elección de una rama correcta o si necesito un enfoque totalmente diferente, pero siento que esta es una mejor intento que mis anteriores.

Answer 1

Podemos expresar la integral en términos de las integrales elípticas de la tercera clase $$ \Pi(a,b)=\int_0^{\pi/2}\frac{1}{(1-\sin^2t)\sqrt{1-b\sin^2}}\,dt. $$

En primer lugar, tomamos nota de que el integrando es par, y por lo tanto $$ I=2\int_0^1\frac{1}{(1+x^2)(1-x^2)^{1/4}}\,dx $$ Ahora, vamos a $\sin t=(1-x^2)^{1/4}$, y obtendrá $$ \int_0^{\pi/2}\frac{4\sin^2(t)}{(2-\sin^4t)\sqrt{1+\sin^2}}\,dt. $$ Ahora, podemos hacer una especie de fracción parcial de descomposición para encontrar que $$ \frac{4\sin^2t}{2-\sin^4t}=\frac{\sqrt{2}}{1-(1/\sqrt{2})\sin^2t}-\frac{\sqrt{2}}{1+(1/\sqrt{2})\sin^2t}. $$ Así $$ I=\sqrt{2}\bigl(\Pi(1/\sqrt{2},-1)-\Pi(-1/\sqrt{2},-1)\bigr)\aprox 1.80462. $$ El valor numérico calculado con Mathematica.