Describa $R=\mathbb{Z}[X]/(X^2-3,2X+4)$

Question

Necesito para describir un anillo de $R=\mathbb{Z}[X]/(X^2-3,2X+4)$

Sé que su elemento sería de la forma $\{f(x)+(X^2-3,2X+4)|f(x)\in \mathbb{Z}[X]\}$ Después de que me divida $f(x)$ $X^2-3$ primero y luego por $2X+4$ a reducir los elementos en $R$?

Answer 1

a mí me parece que es $\mathbb Z_2[X]/\left<X^2+1\right>$.

$2$ es en su ideal porque:

$$2 = 2(X^2-3)-(2X+4)(X-2)$$

También se $X^2+1$ es en su ideal porque: $$\begin{align}X^2+1 &= (X^2-3) + 4 = (X^2-3) + 4(X^2-3) - (2X+4)(2X-4) \\&= 5(X^2-3) - (2X+4)(2X-4) \end{align}$$

Así que sabemos que $\left<2,X^2+1\right>$ está contenida en su ideal.

Pero es obvio que los generadores para sus ideales son en $\left<2,X^2+1\right>$.

Así que hemos terminado.

Nota: Dado que el$(X+1)^2=X^2+1$$\mathbb Z_2$, esto puede ser reescrita como isomorfo a $\mathbb Z_2[Y]/\left<Y^2\right>$ $Y$ correspondiente a $X+1$.