Ninguna curva entre dos puntos de un colector de Riemann nunca maximiza la longitud de arco. Dado cualquier curva de $\gamma$$p$$q$, siempre se puede encontrar una mayor curva, por ejemplo, dejando $\gamma$ durante un rato y tomar un desvío, y luego regresar y volver a unir $\gamma$ donde la dejaste.
La curva discontinua en su dibujo es un punto de silla de la función de distancia. Usted puede imaginar el espacio de curvas suaves con los extremos del mismo como una especie de infinito-dimensional colector; en ese colector, esto es una silla con un 1-dimensional espacio de direcciones en las que la función de distancia disminuye, y un infinito-dimensional espacio de direcciones en las que se aumenta.
El Morse índice teorema dice que cada geodésica segmento tiene más de un número finito de dimensiones del espacio de direcciones en las que la distancia disminuye (la dimensión de este espacio se llama el índice de la línea geodésica), y el índice es igual al número de puntos del interior a lo largo de la línea geodésica que se conjugado a un extremo, contados con su multiplicidad. (Hablando a grandes rasgos, se puede pensar en dos puntos de conjugar lo largo de una geodésica si hay un parámetro 1-la familia de geodesics entre los mismos dos puntos. Esto no es exactamente correcto, pero pensando de esa manera le dará una buena intuición sobre conjugado puntos).
En la esfera, dos puntos de conjugar lo largo de una geodésica si y sólo si, se antipodal puntos. El discontinua geodésica en el dibujo contiene un punto interior que conjugar el punto de partida (es decir, el punto antipodal al punto de partida), y por lo tanto no tiene índice 1.
