Prueba de que hay un racional entre cualquier dos reales

Question

Este es un problema de Rudin, pero yo quería añadir mi propia intuición. Utiliza Rudin la definición de Arquímedes de la propiedad. Me gustaría saber si mi versión sostiene

Si $x \in R$, $y\in R$ y $x<y$, $\exists p \in Q$ tal que $x < p < y$

Desde $x < y$,$y-x>0$. La aplicación de Arquímedes de la propiedad, vemos a $\exists n \in Z^+$ tal que $n(y-x)>1$.

Permitir $A=\{i\in Z\mid i > nx\}$. Obviamente $A$ está delimitado por $nx$, así que tome $m = \inf A$. Así que tenemos $m > nx$ $m-1 \leq nx$ por establecer y $\inf$ definición.

Esto nos da $m-1 \leq nx < m$. Combinar y reorganizar el con $n(y-x) > 1$ nos da $nx < m \leq nx +1 < ny \implies nx < m < ny$.

Por lo tanto $x < \frac{m}{n} < y$

Answer 1

Esta prueba de obras, en su mayoría.

Para la integridad:

1. Debe mencionar por qué $A$ no está vacía. La prueba de esto se utiliza la propiedad de Arquímedes.

2. Usted ha demostrado que $A$ tiene un infimum, pero no ha demostrado que el infimum es en $A.$ Para los lotes de conjuntos de números reales, el infimum no está en el conjunto, así que ¿por qué es $A$ diferente?

3. Vale la pena ser explícito con $nx+1<nx+n(y-x)=ny$.

4. Se podía volver a repetir ese $n>0$ por lo que se puede se puede dividir por $n$ en el último paso.

Pero la segunda cosa es el gran problema. ¿Por qué es $m\in A?$

La clave es el resultado:

Si $A\subset \mathbb Z$ es no vacía con un número entero límite inferior, a continuación, $A$ tiene un mínimo elemento. Es decir, $\inf A \in A.$

Esto se desprende de la buena ordenación principal de los enteros positivos:

Si $A\subset \mathbb Z^+$ es no vacío, entonces se tiene un mínimo elemento.

Sabemos que nuestro $A$ tiene un verdadero límite inferior, $xi$. Así que tenemos que demostrar que existe un entero $k$ tal que $k<xi,$ que es entonces un entero límite inferior de $A.$

El entero $k$ puede ser mostrado a existir de nuevo por el de Arquímedes de la propiedad. Encontrar entero positivo $K$, de modo que $-xi<K\cdot 1$ y, a continuación, $k=-K.$

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Lo que esto prueba que está mostrando es cuánto de nuestras intuiciones acerca de los números reales y enteros están relacionados con la propiedad de Arquímedes. Aquí se utiliza para:

1. Mostrar que $n$ existe.
2. Mostrar que $A$ no está vacía.
3. Mostrar que $A$ tiene al menos un elemento.

Answer 2

Creo que está bien. Sería agradable si usted dice que $\inf A$ existe porque los menores delimitada subconjuntos de a $\Bbb Z$ son bien ordenados.