Un subgrupo $H$ de $G$ es normal si y solo si para todos $a, b \in G$, $ab \in H \iff ba \in H$.

Question

Necesito mostrar lo siguiente:

Sea $H$ un subgrupo de $G$. $H$ es normal si y solo si tiene la siguiente propiedad: para todo $a,b \in G$, $ab \in H$ si y solo si $ba \in H$.

Tengo que usar la siguiente definición de subgrupo normal:

Sea $H$ un subgrupo de $G$. $H$ es llamado un subgrupo normal de $G$ si está cerrado con respecto a conjugados, es decir, si para cualquier $a \in H$ y $x \in G$, $xax^{-1} \in H$.

Intenté probar la parte $(\Rightarrow )$, pero no pude tener éxito. Sin embargo, probé la parte $(\Leftarrow )$. Aquí está:

Sea $h \in H$ arbitrario. Entonces para cualquier $x\in G$, $eh = (x^{-1}x)h=(x^{-1})(xh) \in H$. Por lo tanto, sigue por la propiedad que $(x^{-1})(xh) \in H \Rightarrow xhx^{-1} \in H$. Así, hemos terminado.

Para la parte $(\Rightarrow )$, sé que necesito elegir cualquier $a, b \in G$ y asumir que $ab \in H$ luego necesito mostrar $ba \in H$ y también mostrar la conversión. Así es como comienzo: since $ab \in H$, para cualquier $x\in G$, tenemos $xabx^{-1} \in H$. Intenté algunas cosas pero no llegué a ninguna parte. ¿Puedo obtener algunas pistas?

Answer 1

Implicación directa: Sea $ab \in H$: Dado que $H$ es normal, entonces también $a^{-1}aba=ba \in H$. (La otra implicación de la propiedad se sigue por su simetría en $a$ y $b).

Answer 2

Una forma diferente de verlo: $ab\in H$ si y solo si $a$ y $b^{-1}$ están en el mismo coset derecho de $H$. $ba\in H$ si y solo si $b$ y $a^{-1}$ están en el mismo coset derecho de $H, lo que es equivalente a decir que $a$ y $b^{-1}$ están en el mismo coset izquierdo de $H.

Por lo tanto, la propiedad en consideración significa exactamente que los cosets izquierdos y derechos coinciden, lo cual probablemente puedes ver fácilmente como equivalente a la definición que has dado.