Probabilidad de cuatro dados tetraédricos

Question

Tenemos cuatro dados en forma de tetraedro. Cada dado tiene caras numeradas 2, 0, 1 y 7. Si tiramos los cuatro dados simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que podamos componer el número 2017 utilizando uno de los tres números visibles de cada dado?

Esto es lo que he probado:

$\frac{3}{4}$ x $\frac{3}{4}$ x $\frac{3}{4}$ x $\frac{3}{4}$ = $\frac{81}{256}$

La verdadera respuesta es $\frac{63}{64}$ .

Por favor, ayúdenme con esta respuesta.

Answer 1

De las partes visibles de los dados, 3 partes son visibles, el peor caso es que los cuatro dados muestren la misma parte visible, de lo contrario, $2017$ se puede componer.

Así que digamos que hay cuatro números que el primer dado no muestra, los tres restantes no deben estar mostrando el mismo número, al igual que el primer dado, que su probabilidad es $[ \frac{1}{4} ]^3$ , por lo que la respuesta es $1-[ \frac{1}{4} ]^3 = \frac{63}{64}$

Answer 2

Como se menciona en las respuestas anteriores, $2017$ es imposible si los cuatro números inferiores son iguales. Hay $4$ de estos resultados: $$2222; \ 1111; \ 0000; \ 7777.$$ Hay $4^4$ resultados en total (en el espacio muestral). Por lo tanto, la probabilidad de obtener $2017$ es: $$P(2017)=1-P(\text{not} \ 2017)=1-\frac{4}{4^4}=1-\frac{1}{4^3}=\frac{63}{64}.$$

Answer 3

Como dice LKM, a menos que los cuatro dados tengan el mismo número en la parte inferior, siempre se puede componer 2017.

De acuerdo, ¿pero por qué es eso cierto exactamente? Eso no es inmediatamente obvio, así que aquí hay una prueba:

Si los cuatro dados tienen un número diferente en la parte inferior, entonces para componer 2017 podemos hacer: elegir el $2$ del dado que tiene el $1$ en la parte inferior, elija el $0$ de la que tiene el $7$ en la parte inferior, el $1$ del que tiene el $0$ en la parte inferior, y el $7$ del que tiene un $2$ en la parte inferior. Esquemáticamente, podemos escribir esto como:

$1 \rightarrow 2$

$7 \rightarrow 0$

$0 \rightarrow 1$

$2 \rightarrow 7$

Vale, eso era fácil, pero ¿qué pasa si tienes dos o tres dados con el mismo número en la parte inferior? ¿Podemos seguir haciéndolo?

Bien, supongamos que tenemos dos $0$ 'S, a $1$ y un $2$ en la parte inferior. Entonces podemos hacer:

$0 \rightarrow 1$

$0 \rightarrow 2$

$1 \rightarrow 0$

$2 \rightarrow 7$

Esto, por supuesto, se generaliza a cualquier caso en el que se tengan tres números diferentes en la parte inferior. Es decir, si los números/caras en la parte inferior son dos $A$ 's, un $B$ y un $C$ Entonces podemos hacerlo:

$A \rightarrow B$

$A \rightarrow C$

$B \rightarrow D$

$C \rightarrow A$

Bien, ¿y si tenemos dos $A$ y dos $B$ ¿en el fondo? entonces podemos hacerlo:

$A \rightarrow B$

$A \rightarrow C$

$B \rightarrow D$

$B \rightarrow A$

finalmente, con tres $A$ y una $B$ que podemos hacer:

$A \rightarrow B$

$A \rightarrow C$

$A \rightarrow D$

$B \rightarrow A$

Answer 4

Aquí hay una solución más "tecnológica" que muestra que "todos los dados esconden el mismo número" es el único caso malo, y por lo tanto $1 - 4 \cdot (\frac14)^4 = \frac{63}{64}$ es la respuesta correcta.

Podemos definir un grafo bipartito con los dados en un lado, sus caras en el otro, y una arista desde cada dado a cada una de sus caras visibles, como se muestra a continuación:

Escoger un número diferente de cada dado equivale a encontrar una coincidencia perfecta en este gráfico. Para ver si esto es posible, tenemos que comprobar La condición de Hall .

Aquí, dice que para cada subconjunto de dados, debe haber al menos tantos números visibles en ellos como el número de dados en el subconjunto. Esto se cumple automáticamente si elegimos un subconjunto de $3$ o menos dados, ya que incluso uno de los dados mostrará $3$ caras. Por lo tanto, el único caso del que hay que preocuparse es el conjunto de todas las $4$ dados: necesitamos que muestren todo $4$ caras, lo que ocurre a menos que todos los dados muestren las mismas tres caras.

Esto se generaliza al caso de $n$ dados con $n$ caras, donde tenemos que elegir una cara de cada dado para que todas las caras elegidas sean diferentes. De nuevo, que todos los dados escondan el mismo número es el único caso en el que la condición de Hall falla.