Puede un 'cerrado' de la curva de una función?

Question

Para una "cerrada" de la curva (no sé si existe en las matemáticas, denominada curva cerrada, pero me refiero a una curva que es "cerrada")
e.g.1)es bien sabido unidad de círculo con la ecuación$$x^2+y^2=1$$
e.g.2)It is the function $f$ which is in my another post.

I observed that they cannot be a function, since one $x$-value may correspond to several $s$-values, or will there be a 'closed' curve, such that one $x$-value can only correspond to at most one $$y-de valor, es decir, es una función?

Answer 1

No puede ser la gráfica de una función de $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ por la razón que usted declaró: funciones debe tener una única salida para una entrada dada, y por lo tanto sus gráficos deben pasar una "prueba de la línea vertical". Sin embargo, estas curvas pueden ser "gráficos"$\mathbf{^\dagger}$ funciones $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$. Estas son las funciones paramétricas (en dos dimensiones), que son de la forma $f(t) = \langle x(t), \ y(t) \rangle$. Por ejemplo, el círculo unidad está dada por $f(t) = \langle \cos(t), \sin(t) \rangle$ $0 \leq t < 2\pi$ (técnicamente esta restricción en la $t$ es innecesario si no se preocupan acerca del seguimiento que varias veces).

Se nota que hay una diferencia fundamental en estos gráficos: la "normal" de los gráficos a la que estamos acostumbrados para las funciones de $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tienen un eje dedicado a la variable de entrada, mientras que los gráficos de las funciones de $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ no tienen representación visual de la entrada (t-value); ambas coordenadas codificar la información de salida. Debido a esto, hay poca restricción sobre cómo los gráficos de las funciones de $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ puede mirar. En particular, no han de adherirse a la "línea vertical de la prueba" y puede ser auto-intersección.

Por otra parte, como Mark Bennett señala en los comentarios, podemos tener curvas cerradas surgir como las gráficas de ecuaciones polares, que tienen un ángulo de referencia, $\theta$ (w.r.t. el positivo $x$-eje) como una entrada y una "distancia desde el origen" $r$ como una salida. Debido a que estos gráficos codificar los datos de entrada, que no son tan libres como curvas paramétricas y deben adherirse a un análogo de la "prueba de la línea vertical": cualquier rayo con su cola en el origen no pueden intersectar la gráfica más de una vez para cualquier $\theta$ en cualquier medio abierto intervalo de longitud de $2\pi$, como $[0, 2\pi)$. La necesidad de este "intervalo anexo" surge del hecho de que las entradas de $\{ \theta + 2k\pi \ | \ k \in \mathbb{Z} \}$ para un determinado $\theta$ son "el mismo", gráficamente, a pesar de ser realmente diferentes.

Otra forma común de la definición de una curva es la selección de un conjunto apropiado de las condiciones de $P_k$ sus puntos deben satisfacer (lógica de predicados) y hacer algunas construcción: $\{x \ | \ P_k(x) \text{ for all } k \}$. Por ejemplo, el círculo unitario es la colección de puntos de $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 = 1\}$. Personalmente, me atrevería a llamar a lo que estoy mirando en este contexto, "el gráfico", favoreciendo en lugar de términos como "locus de puntos" o posiblemente "curva algebraica", ya que simplemente he dado una descripción de un conjunto de puntos, en lugar de su generación por el taponamiento de las entradas a una función. Podría haber fácilmente ido con la descripción equivalente $\{\mathbf{z} \in \mathbb{R}^2 \ | \ \mathbf{z} \text{ is 1 unit from (0,0)} \}$ - en tanto, si un punto está incluido en el conjunto es determinada por las propiedades intrínsecas del punto (tales como los valores de las coordenadas o la ubicación en el plano) en lugar de la derivada secundaria a una entrada/salida del proceso.

Suficiente semántica. La moraleja de la historia es que aquí se necesita especificar el dominio y rango de las funciones a ser considerado y es exactamente lo que las coordenadas en nuestro papel de gráfico representan.

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$^\dagger$La razón de estas citas es que el término "gráfico", según muchos de los textos de matemáticas (por ejemplo, Wikipedia), se refiere específicamente a una representación Cartesiana de pares ordenados $(x, f(x))$, es decir, un par ordenado que incluye la entrada de la función. Así que estas representaciones Cartesianas de la ecuación paramétrica de las salidas no son técnicamente "gráficos"; el conjunto de puntos que se van a representar es la imagen de la función paramétrica, y si la función es continua, "la curva paramétrica" o simplemente "la curva" probablemente sería mi preferido descriptor para la forma resultante.

Answer 2

Una simple curva cerrada que no puede ser la gráfica de una 1-variable de la función en $\mathbb{R}$. Por el Jordán de la curva de teorema, una curva cerrada particiones su complemento en dos partes, una limitada interior y una desenfrenada exterior. Elija cualquier punto en el interior y considerar la línea vertical a través de ella. Desde el interior es limitada tanto el rayo en la línea de arriba del punto y el rayo por debajo del punto debe salir del interior. Los puntos donde salen corresponden a fallas de la línea vertical de la prueba, por lo tanto la curva no puede ser la gráfica de una función.

Tenga en cuenta que en la anterior prueba, la dirección vertical es algo arbitrario. El mismo argumento muestra que una simple curva cerrada que nunca puede ser la gráfica de una función, incluso después de una rotación de ejes. Esto contrasta con, por ejemplo, el caso de las parábolas. Que puede no ser la gráfica de una función con respecto a la elección del sistema de coordenadas , pero siempre se puede rotar el sistema de coordenadas de modo que el eje de simetría de la parábola es paralelo al nuevo eje y (por lo tanto, es la gráfica de una función con respecto a ese sistema de coordenadas). El hecho de que una simple curva cerrada que no es la gráfica de una función es independiente del sistema de coordenadas (claramente se puede también traducir el origen sin cambiar nada esencial en el argumento).

Pregunta: es el Jordán curva teorema equivalente a la afirmación de que una simple curva cerrada que no es la gráfica de una función con respecto a la elección del sistema de coordenadas? Si usted sabía que este hecho se trata de simples curvas cerradas, se puede utilizar para demostrar la terminal de contenedores jaye?

Answer 3

Una función que transforma un objeto (número, vector...) en un objeto que es único. Con las funciones paramétricas, es absolutamente el mismo :
Para un valor dado del parámetro, $t$ por ejemplo, la imagen es única. Pero entre las dos imágenes de la relación que puede existir, como es el caso de la $cos t$$sin t$. En una gráfica de punto de vista de la imagen $f(x)$ es único es demostrado por el hecho de que para cada punto de la curva de la ordenada es la única imagen de un determinado absciss. Así que si $f$ es una función de la curva que representa a $f$ no puede ser cerrado. Si usted dibuja $f(x)=\cos x$ $g(x)=\sin x$ usted obtener dos curvas cerradas debido a que f y g son dos funciones de la variable x.
Pero si se dibuja la relación entre el $f$ $g$ usted obtiene una curva cerrada debido a $f$ no es una función de la variable $g(x)$