Recién he comenzado a leer un libro sobre matemáticas y de haber tropezado con una definición axiomática de los números reales. Los números reales se define como un Dedekind-completa ordenó campo. Aunque yo entiendo que los componentes de esta definición, yo.e las especificaciones de estos axiomas, estoy absolutamente perdido como para el proceso filosófico en su lugar. Podemos definir los números reales por un conjunto de propiedades que se asume para ser verdad. Si alguien fue tratar de construir el conjunto de los números reales utilizando esta definición, tendría que recurrir a un conjunto único que tiene estas propiedades. Que es que? Es el conjunto que podemos asumir que tienen estas propiedades. Bueno, que es que? Es el conjunto que podemos asumir que tienen estas propiedades y así sucesivamente... me siento como sin una concreta referencia de algún tipo, todo lo que nos queda es cíclico lógica. ¿Alguien puede ayudarme a arrojar luz sobre el proceso filosófico de esta definición?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Parece una pregunta mejor para mí que algunas personas parecen pensar. La pregunta de que el conjunto de los que estamos hablando no importa, pero la pregunta de ¿cómo sabemos que una estructura de este tipo existe ciertamente que importa. Permítanme parafrasear lo que a mí me parece que el problema es, en un lenguaje que la gente de aquí va a entender:
P: he leído que los reales son un completo ordenó campo. Ok, uno puede fácilmente demostrar que cualquiera de los dos (Dedekind-)completar ordenó campos son isomorfos, así que esto caracteriza a la teoría de los reales, bien. Pero, ¿cómo sabemos que una completa ordenó campo existe? Después de todo, si no hay tal cosa como un completo ordenó campo de la teoría de la completa ordenó campos parece un poco sin sentido.
Un perfectamente razonable matemática pregunta; no hay necesidad de rien acerca de la necesidad de un filósofo. Por suerte:
R: Hay varios métodos que se pueden usar para mostrar que una completa ordenó existe el campo. Uno de los más conocidos es a través de "Dedekind recortes", que se puede leer en varios lugares en línea.
Definición axiomática como este no le dice "esta cosa en particular es el conjunto de reales", sino que "llamamos a los reales nada de lo que satisface las condiciones". Sólo se especifica la interfaz, no dar ninguna aplicación concreta.
El punto aquí es que no sólo algunos de implantación que existe, pero que es único hasta el isomorfismo. Esto no es parte de la definición, es un teorema que tiene que ser demostrado. Pero es esto lo que justifica el nombre de "los reales" (es decir, con el artículo definido).
En realidad, no importa que conjunto da cuenta de los reales, la estructura es importante. Usted puede, por ejemplo, mirar un simple caso de los números naturales y los números enteros – ¿sabe usted su conjunto teórico de la representación? (Hay algunas opciones naturales, tal vez uno de ellos se considera canónica.) ¿Realmente importa? Quiero decir, la estructura en sí es importante, y el hecho de que puede ser comprendido como un conjunto. Pero el descubrimiento en particular no es tan importante.
Axiomático definiciones se utiliza más a menudo en la situación sin la unicidad – espacios vectoriales, espacios métricos, espacios topológicos, espacios de Banach – son axiomáticamente estructuras definidas/interfaces abstractas sobre casos particulares, por lo que se pueden formular algunos teoremas que tiene en general.
Su inferencia "Si ... . iba a tener que recurrir a un conjunto único que tiene estas propiedades" no es una matemática de la inferencia, y se basa en la no-matemática de las presuposiciones. En particular, usted simplemente debe presuponer que el sistema de axiomas caracteriza a los números reales estrictamente de forma exclusiva (arriba a la igualdad en algunos universo de conjuntos); esto es , no el habitual punto de vista hoy en día. En la mayoría de los 'singularidad hasta el isomorfismo de ordenada de los campos es generalmente considerado, y que incluso se olvidó de mencionar una condición: que los números reales son el único ordenado de campo, hasta el isomorfismo de ordenada campos.
Un comentario similar se encuentra en el orden en respuesta a tu pregunta "Que es que?" Esta pregunta presupone un punto de vista que se considera obsoleta: que cualquier propiedad (como por ejemplo 'la satisfacción de todos los axiomas que actualmente están preguntando acerca de') definir un conjunto. G. Frege, entre otros, el pensamiento de que algo similar podría ser adoptado como un principio de pensamiento, pero esto resultó ser una untenably ingenuo punto de vista. Como user87690 ya se ha insinuado, en conjunto habitual-teoría hay infinitamente muchos conjuntos que son isomorfos como campos de los números reales.
La intuición se evidencian en "me siento como sin una concreta referencia de algún tipo, todo lo que nos queda es cíclico lógica"(uso) es muy relevante: el Axioma esquema de especificación podría decirse que surgió de una intuición semejante.
Volver a su "¿alguien Puede ayudarme a arrojar luz sobre el proceso filosófico de esta definición?": el 'proceso filosófico' es que, normalmente, el tipo de isomorfismo se considera esencial para la formación matemática y científica de las aplicaciones de $\mathbb{R}$, mientras que el conjunto de la teoría de la realización es considerado como "configure y olvídese"(juego de palabras)la cuestión de la (modelo)teórico de interés solamente. Las palabras clave relevantes con los que podrá aprender más son "método axiomático" y "modelo de la teoría" (donde un tema relevante para aprender acerca de es categoricity).
${}$_______________________________
(juego de palabras) juego de palabras. El modelo es generalmente llevado a ser un conjunto que para la mayoría de los intentos y propósitos que luego olvidar.
(uso) Por cierto, "lógica circular", o "razonamiento circular" es mucho más habitual de colocación en inglés.
