¿Es el producto de todos los números racionales positivos igual a uno?

Question

He empezado a leer la obra de Pinter Libro de Álgebra Abstracta y uno de los primeros ejercicios pide que se demuestre que en un grupo abeliano finito $G$ , $(a_1a_2a_3a_4...a_n)^2 = e$ , si hay alguna $a_n$ que son sus propios inversos, y que si no hay $a_n$ es su propia inversa, entonces $(a_1a_2a_3a_4...a_n) = e$ .

Como no estoy haciendo esto para una clase, he elaborado una prueba muy informal para el segundo caso (no $a_n$ es su propia inversa): Dado que debe haber un $a^{-1}$ para cada $a$ entonces $(a_1a_2a_3a_4...a_n)$ puede reducirse a tantos casos de $(a_1a_1^{-1}a_2a_2^{-1}...a_{n/2}a_{n/2}^{-1})$ que puede simplificarse como $e^{n/2}$ o simplemente $e$ .

¿Existe alguna razón en particular por la que esto sea válido sólo para grupos abelianos finitos?

Si se hiciera una lista de números racionales en orden, como demostró Cantor, ¿el producto de esta lista tendería a uno?

Además, ¿sería justo -aunque relativamente sin sentido- decir que el grupo $\mathbb{Q} > 0$ tiene un número impar de miembros, ya que contiene exactamente un miembro que es su propio inverso?

(revelación completa - esto es básicamente un pasatiempo para mí, así que las disculpas de antemano por cualquier error obvio en la lógica / anotación / etc., pero por favor señalarlas)

Answer 1

Los productos infinitos son delicados. Generalmente, decimos que un producto infinito $$ \prod_{k=1}^{\infty} a_n $$ converge si y sólo si la serie $$ \sum_{k=1}^{\infty} \log(a_n) $$ converge a algún valor $\log(a)$ . En este caso, el producto converge a $a$ . En caso contrario, el producto diverge.

Para entender por qué esta es una definición razonable, recordemos que para dos elementos, tenemos $$ a_1 \cdot a_2 = a \iff \log(a_1) + \log(a_2) = \log(a); $$ y que para cualquier producto finito podemos demostrar por inducción que $$ \prod_{k=1}^{n} a_k = a \iff \sum_{k=1}^{n} \log(a_k) = \log(a). $$ Así podemos entender las propiedades de los productos reduciéndolos a series utilizando el logaritmo (ya que estás leyendo sobre álgebra abstracta, podrías considerar cómo se relaciona el grupo multiplicativo de los números reales positivos con el grupo aditivo de los números reales; ¿son isomorfos?)

Obsérvese que hay varias formas interesantes de que un producto diverja: puede oscilar (como podría hacerlo una serie), puede divergir hasta el infinito (considere el producto infinito $\prod 2$ ), o puede divergir a cero. Por ejemplo, si $\prod \frac{1}{2} = a$ entonces $$ \sum_{k=1}^{\infty} \log\left( \frac{1}{2} \right) = \log(a). $$ Pero la suma diverge al infinito negativo, por lo que el producto no converge.

Entonces, supongamos que $\{q_k\}$ es una enumeración de los números racionales. Entonces $$ \prod_{k=1}^{\infty} q_k = q \iff \sum_{k=1}^{\infty} \log(q_k) = \log(q). $$ No hay ningún reordenamiento de los números racionales tal que la serie anterior converja. Para ver esto, supongamos que $\{q_n\}$ es una enumeración de los racionales. Hay infinitos $n \in \mathbb{N}$ tal que $|\log(q_n)| > 1$ lo que implica que $|\log(q_n)|$ no converge a cero como $n\to \infty$ . De ahí que la serie $\sum \log(q_n)$ no converge (el término general no llega a cero).

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Según los comentarios de Asaf Karagila (más abajo), un conjunto es incluso si se puede dividir en dos conjuntos del mismo "tamaño", o si se puede dividir en pares (esta caracterización requiere el Axioma de Elección, pero este es un punto técnico que está fuera del alcance actual). Si un conjunto no puede dividirse en pares, entonces es impar . Dado que cualquier conjunto infinito puede dividirse en pares (de nuevo, esto requiere una elección), todo conjunto infinito -incluidos los racionales- es par.

Como tal, este argumento básicamente afirma que el concepto de "paridad" es más o menos sin sentido para los conjuntos infinitos.

Answer 2

En su prueba está haciendo la suposición de que $n$ es par y que la inversa de $a_k$ para $1\leq k\leq \frac{n}{2}$ no está en $\{a_1,\ldots,a_{\frac{n}{2}}\}$ así que, en general, tu idea no funciona.

También tus teoremas son defectuosos. Deberían decirse así:

1. Para cualquier grupo finito $G$ con elementos $a_1,\ldots,a_n$ tiene $(a_1\ldots a_n)^2=e$ .
2. Para cualquier grupo finito $G$ con elementos $a_1,\ldots,a_n$ tal que el único elemento autoinverso es $e$ tiene $a_1\ldots a_n=e$ .

La prueba de (2.) es sencilla. Debido a (1.) sabemos que el elemento de $G$ de la forma $a_1\ldots a_n$ es autoinverso (porque $(a_1\ldots a_n)^2=e$ ), pero con nuestra suposición en (2.) obtenemos entonces $a_1\ldots a_n=e$ inmediatamente.

En cuanto a su pregunta: Tienes el problema de que no está bien definido en qué orden se multiplican tus elementos. Claro, puedes tener un orden tal que el producto sea $1$ . Pero también podría tener un orden tal que el producto sea $\frac{1}{2}$ o $2$ o cualquier otro número. Incluso $0$ y $\infty$ son posibles. Los términos "convergencia" y "convergencia absoluta" son necesarios aquí. Véase, por ejemplo wikipedia (ahí se trata de sumas, pero es el mismo principio).

Por ejemplo, su afirmación de que el producto es uno equivale aproximadamente a decir que la suma de todos los enteros es $0$ . Lo uso porque enumerar todos los racionales es siempre un poco complicado.

Hagamos un intento:

$$0+1+(-1)+2+(-2)+\ldots=0+(1+(-1))+2+(-2)+\ldots=0+0+(2+(-2))+\ldots$$

Sí, $0$ parece razonable. Pero espera, ¿y si lo hacemos así?

$$0+1+2+(-1)+3+4+(-2)+5+6+(-3)+\ldots=0+(1+2+(-1))+(3+4+(-2))+(5+6+(-3))+\ldots = 0+2+5+8+\ldots$$

Está claro que seguimos sumando todos los enteros (de una manera que la mayoría de la gente probablemente no haría), pero de repente nuestra suma se hace cada vez más grande (para siempre).

El orden de la suma (y el orden de la multiplicación) a menudo juega un papel crítico cuando se trata de sumas infinitas (o productos infinitos).

En conclusión no se puede decir "El producto de todos los racionales positivos es $1$ ", pero "Hay una forma de multiplicar todos los racionales positivos de manera que el producto sea $1$ ".

EDITAR: Para las personas que están insistiendo en que el uso de la ley asociativa aquí hace que mi respuesta de alguna manera no sea matemáticamente correcta, no esté en el espíritu de la pregunta o que simplemente

escribir "1" en un número contable de formas divertidas

si utilizara esta técnica para multiplicar todos los racionales positivos a $1$ Estoy orgulloso de decirte que esta técnica se utiliza habitualmente .

Answer 3

Considere la secuencia $\{s_n\}$ donde $$ s_n=\begin{cases}n/2&n\text{ is even}\\ -(n-1)/2&n\text{ is odd} \end{cases}. $$ Considere la suma $$ \sum_{n=0}^\infty s_n. $$ Esta suma no converge, aunque cada vez $k$ es impar, $$ \sum_{n=0}^k s_n=0. $$

Supongamos que elegimos un orden en los racionales mayor que $1$ Así que $\{a_n\}$ es una secuencia de todos los racionales mayores que $1$ . Entonces, está considerando el producto $$ \prod_{n=0}^\infty a_na_n^{-1}=1. $$ Es cierto que este producto es $1$ porque cada factor es $1$ . Sin embargo, si se observa la secuencia $\{b_n\}$ donde $$ b_n=\begin{cases} b_n=a_{n/2}&n\text{ is even}\\ b_n=a_{(n-1)/2}^{-1}&n\text{ is odd} \end{cases} $$ Entonces, el producto $$ \prod_{n=0}^\infty b_n $$ tiene el mismo problema que antes ya que es $1$ siempre que $n$ es impar, pero puede ser cualquier número racional mayor que $1$ cuando $n$ está en paz.