Entre Mentira grupos, ¿por qué estudiar la semisimple?

Question

Estoy en el proceso de aprendizaje de la teoría de la Mentira.

Simplemente se conecta Mentira grupos corresponden a lo finito dimensional real álgebras de Lie. Finito dimensionales semisimple real álgebras de Lie corresponden a Satake diagramas.

Así que, simplemente conectado semisimple Mentira grupos corresponden a Satake diagramas.

Una Mentira grupo es un objeto geométrico y es un grupo. Así, la más natural de la tarea de clasificación es clasificar Mentira grupos por geométricos, topológicos y abstracta de un grupo teórico de propiedades (es decir, "pacto", o "simples como un resumen de grupo").

Sé, en efecto, que tal caracterización existe: la conexión de Un grupo Mentira es semisimple si y sólo si su radical (el más grande conectado solucionable subgrupo normal) es trivial.

Así, Satake diagramas corresponden a simplemente conectado Mentira grupos con trivial radical.

Mientras que este es este es el tipo de clasificación que yo estaba buscando, la propiedad de ser "simplemente conectado con trivial radical" parece un poco artbitrary.

Esta es mi pregunta:

Lo que estoy tratando de entender es si el enfoque de Lie semisimple grupos es sólo porque "ahí es donde tenemos un buen entendimiento", o también porque algunos matemáticas naturales de los dominios donde "entre Mentira grupos, el semisimple son todo lo que importa".

Answer 1

Simple grupos y álgebras simples son "los que todo lo que importa", por una razón intrínseca. Ellos son los átomos de este universo, por así decirlo, y por lo tanto son interesantes. En el caso de la Mentira grupos, hay además razones de la geometría, ¿por qué somos en particular interesado en semisimple. Sin embargo, incluso allí, la razón es similar. Queremos entender lo básico de "irreductible" de los componentes. Un ejemplo que ilustra esto es la clasificación de Riemann simétrica espacios. Entonces puede demostrarse que cualquier conecta simplemente de Riemann simétrica del espacio es una de Riemann producto de irreducibles. Por lo tanto, tiene sentido para restringir aún más a sí mismo para clasificar a la irreductible, simplemente se conecta de Riemann simétrica espacios. Terminamos con una simple Mentira grupos en el Caso de $A$, y con el compacto de la Mentira de los grupos en el caso de $B$. Pero incluso para el compacto de la Mentira de los grupos que estamos muy cerca de Lie semisimple grupos, y uno podría argumentar que también hay "y los de todos los que la materia" son semisimple.

Answer 2

Desde el punto de vista de la teoría de la representación, la clase más grande de reductora grupos son "los que importan" (esto es una simplificación, como finito-dimensional de las representaciones de la no-reductora grupos son cruciales para entender, incluso si sólo se preocupan por las representaciones de la reductora grupos). Pero usted no puede entender reductora grupos sin entender semisimple grupos de primero.