Búsqueda de $\max$ y mínimo de la función

Question

Tengo un problema con la siguiente asignación. Necesito encontrar los puntos críticos de la función $$f (x,y)=x^{3}y-3x^{2}y+y^2$$ y determinar si la función min/max o no. $$Df=[3x^{2}y-6xy,x^3-3x^2+2y]$$ Los puntos críticos son:$(0,0)(3,0)(2,2)$ y $$D^2f=\begin{pmatrix}6xy-6y &3x^2-6x\\3x^2-6x&2\end{pmatrix}$$ Para $(2,2)$ obtenemos la matriz positiva definida por lo que ha $\min$$(2,2)$. Para los otros dos no tengo idea de cómo examinarlos. Debido a que la matriz es: $$\begin{vmatrix}0 & 0 \\ 0 & 2\end{vmatrix}\quad \text{ and } \quad \begin{vmatrix}0 & 0 \\ 0 & 9\end{vmatrix}$$ Voy a ser muy feliz de ayudar.

Answer 1

Utilizar el polinomio característico de la matriz Hessiana si las raíces(autovalores) por el polinomio son positivos es positiva definida (min), si son todos negativos es negativa definida(max) si son de signo negativo y positivo, entonces su indefinida(punto de silla).

Answer 2

He aquí una sugerencia de cómo tratar con el punto de $(0,0)$:

Desde el estado de Hesse es sólo semidefinite, el método usual se rompe, así que tendrás que usar tu imaginación y pensar en algún método adaptado para este problema en particular.

El vector propio con el autovalor cero es $\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)$, y esta es la dirección donde la forma cuadrática en la expansión de Taylor deja un "hueco" donde los de orden superior, los términos pueden influir en lo que sucede. Así que una buena idea es mirar en la $x$ dirección.

Primero tratamos de $f(x,0)$, pero eso es idéntica a cero, que no conducen a ninguna conclusión (aparte de que si hay un local de extremo, no puede ser estrictos).

Pero, ¿qué sucede si usted mira en $f(x,x^3)$? (I. e., se mira a lo largo de la curva de $y=x^3$, que es tangencial a la $x$ eje en el origen.)