La diferencia de dos Secuencias de Cauchy

Question

Supongamos que $\{a_n\}, \{b_n\}$ son ambas secuencias de Cauchy de números reales, y que $a_n \le b_n \ \forall n$. Demostrar que $\lim_{n \to \infty} a_n \le \lim_{n \to \infty} b_n$.

La definición de una secuencia de Cauchy que estoy usando es

Una secuencia $\{a_n\}$ es de Cauchy si, dada $\varepsilon > 0, \ \exists N$, de modo que $$ |a_n - a_m| \le \varepsilon \text{ if } n,m \ge N$$

Mi Trabajo

Desde $\{a_n\}, \{b_n\}$ son tanto de Cauchy, tienen límites finitos $A, B$, por lo que teniendo en cuenta la secuencia de $\{c_n\}$ donde $c_n = b_n - a_n$, tenemos $$ a_n \le b_n \ \forall n \Rightarrow 0 \le b_n - a_n$$ $$\lim_{n\to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} b_n - \lim_{n \to \infty} a_n = B - A \ge 0 \Rightarrow A \le B$$ Por lo tanto, $\lim_{n \to \infty} a_n \le \lim_{n \to \infty} b_n$.

Pasos a la Izquierda a Cabo: Por un teorema del límite, sé que el límite de la diferencia de dos secuencias convergentes es la diferencia de sus límites, y sé que $\lim_{n\to \infty} c_n \ge 0$ porque por supuesto que cada término de $\{c_n\} \ge 0$.

He hecho esta prueba correctamente?

Answer 1

La prueba es correcta, y he aquí otra prueba.

Deje $a = \lim_{n \to \infty} a_n$$b = \lim_{n \to \infty} b_n$. Supongamos por contradicción que $a > b$. Set $\epsilon = \frac{a-b}{2}$, y elija $N \in \mathbb{N}$ tal que $n \ge N$ implica $|a_n - a| < \epsilon$$|b_n - b| < \epsilon$. Luego de esto $n$,

$$ a_n > a - \epsilon = a - \frac{a -b}{2} = b + \frac{a - b}{2} = b + \epsilon > b_n$$

lo cual es una contradicción.