La compacidad de $\mathcal K$ en la distancia de Hausdorff

Question

Posibles Duplicados:
La Clase No vacía de Subconjuntos Compactos de un Espacio Métrico Compacto es Compacto

Deje $(M,d)$ ser un espacio métrico y deje $\mathcal K(M)$ denota el conjunto de todos los que no vacía de subconjuntos compactos de $M$. Esta colección es un espacio métrico cuando está equipado con la distancia de Hausdorff $h$.

Yo quiero probar$$(M,d)\mbox{ is compact}\implies(\mathcal K,h)\mbox{ is compact}.$$ The statement is true according to the book [V. I. Istratescu, Fixed Point Theory: An Introduction], but the proof is omitted. I have already shown that $M$ is complete implies that $\mathcal K$ es completa.

Answer 1

Desde $M$ es totalmente acotado, para cada una de las $\epsilon > 0$ no es un conjunto finito $\{x_1, \ldots, x_n\} \subseteq M$ tal que $\min_{i=1}^n d(x,x_i) < \epsilon$ todos los $x \in M$. Para cualquier vacío compacto $C \subseteq M$ si $S = \{x_i: d(C, x_i) < \epsilon\}$ hemos $h(S,C) < \epsilon$. Por lo tanto todos los $C \in {\cal K}(M)$ está dentro de la distancia de Hausdorff $\epsilon$ de uno de un número finito de subconjuntos no vacíos de a $\{x_1,\ldots,x_n\}$. Esto demuestra que ${\cal K}(M)$ es totalmente acotado. Puesto que usted ya sabe que ${\cal K}(M)$ es completa, es compacto.