Duro de combinatoria y probabilidad de que se trate.

Question

Un gran cubo blanco está pintado de rojo, y luego se corta en $27$ idénticos cubos más pequeños. Estos cubos más pequeños se ordenan aleatoriamente.

Un hombre ciego (que también puede sentir la pintura) vuelve a montar los cubos pequeños en uno grande. ¿Cuál es la probabilidad de que el exterior de este gran cubo es completamente rojo?

Answer 1

Sugerencia: Trate de encontrar primero la probabilidad de que la esquina cubos se ponen en las esquinas, la cara de los cubos en la cara y el borde de los cubos en los bordes. Entonces la probabilidad de que tienen la orientación correcta.

Respuesta completa:

En primer lugar, el número de cubitos que los hacen distinguibles.

Sin tomar en cuenta la orientación de los cubos más pequeños, hay 27! las posibles maneras de volver a montar en un cubo grande.

• Hay 1 manera de colocar el centro del cubo correctamente
• Hay 6! maneras de colocar la cara de los cubos correctamente
• Hay 8! formas de colocar la esquina de cubos correctamente
• Hay 12! maneras de colocar el borde cubos correctamente

Así que hay 6!8!12! correcto cubos (sin tomar en cuenta la orientación).

Ahora tome un cubo.

• El centro de cubo tiene probabilidad 1 de ser en la orientación correcta.
• Cada cara del cubo tiene probabilidad de 1/6 de estar en la orientación correcta.
• Cada esquina del cubo tiene probabilidad de 1/8 de estar en la orientación correcta.
• Cada arista del cubo tiene probabilidad de 1/12 de estar en la orientación correcta.

Esto significa que la probabilidad de obtener un cubo rojo debe ser

$$\frac{6!8!12!}{27!}\left(\frac{1}{6}\right)^6\left(\frac{1}{8}\right)^8\left(\frac{1}{12}\right)^{12}$$