No subespacio cerrado de un espacio de Banach

Question

Deje $V$ ser un espacio de Banach. Me puede dar un ejemplo de un subespacio $W\subset V$ (sub-vectorspace) que no está cerrado?

No se puede encontrar un ejemplo de que todavía.

Gracias!

Answer 1

Hay un método regular para producir un montón de no-subespacios cerrados arbitrarios de infinitas dimensiones espacio de Banach.

Tomar cualquier contables linealmente independientes de la familia de vectores $\{w_i:i\in\mathbb{N}\}\subset V$ y definen $W=\mathrm{span}\{w_i:i\in\mathbb{N}\}$. A continuación, $W$ no está cerrado.

En efecto, supongamos que $W$ es cerrado. Recordemos que $V$ es un espacio de Banach, entonces $W$ también es de Banach como subespacio cerrado de un espacio de Banach. Dimensión lineal de $W$ es contable, pero por el corolario de la categoría de Baire teorema de Banach espacio no puede tener contables dimensión lineal. La contradicción, por lo $W$ no está cerrado.

Este resultado general se demostró en Kevin y J. J. respuestas. Te voy a mostrar otro.

Considere el espacio de Banach $V=(C([0,1]),\Vert\cdot\Vert_\infty)$ de funciones continuas con $\sup$ norma. Deje $W=(P([0,1]),\Vert\cdot\Vert_\infty)$ su correcto subespacio que consta de polinomios. Es de contables dimensión debido a $W=\mathrm{span}\{x^k:k\in\mathbb{Z}_+\}$. Del resultado anterior se deduce que $W$ no está cerrado.

Pero hay otra prueba. Por el teorema de Weierstrass $W$ es denso en $V$, es decir,$\overline{W}=V\neq W$. Por lo tanto $W$ no está cerrado, el pensamiento es denso en $V$.

Answer 2

Un ejemplo simple, que se obtiene de la diferencia entre ortonormales y Hamel bases en infinitas dimensiones, es tomar $H$ el separables infinito-dimensional espacio de Hilbert y considerar el lapso de su base de vectores $e_i, i \in \mathbb{N}$. De este lapso, tomado de manera algebraica, ciertamente no es la totalidad del espacio, ya que, por ejemplo, $v=\sum_{i\in \mathbb{N}} \frac{1}{2^i} e_i$ no está en él. Recuerde que las luces son definidos a través de combinaciones lineales finitas del sistema generador. Pero que la serie debe estar en el espacio de Hilbert, porque su suma parcial definir una secuencia de Cauchy y de Hilbert espacios están completas.

Answer 3

Tome $V$ a ser el espacio de secuencias de $(a_1,a_2,\dots)$ de los números reales con la norma $\|(a_1,a_2,\dots)\| = \sum_{k=1}^\infty |a_1|$. Consideremos el subespacio de $W \subset V$ consta de secuencias con sólo un número finito de $a_1,a_2,\dots$ ser distinto de cero. Entonces $A_k = (1,\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{2^k},0,0,\dots)$, $k=1,2,\dots$, da una secuencia de elementos de $W$, pero el límite de esta secuencia no es en $W$.

Answer 4

Tomar el espacio de $L^1 [0,1]$. Este espacio está completo.

Ahora toma el subespacio de funciones continuas $C[0,1]$ ($L^1$ norma). Entonces este no es un espacio de Banach (con respecto a $\|\cdot\|_{L^1}$). Para ver esto, considere la secuencia

$$f_n(x) = \begin{cases} 0 & \text{on } \hspace{0.5cm} [0,\frac12 - \frac1n]\\ nx + 1 - \frac{n}{2} & \text{on } \hspace{0.5cm} [\frac12 - \frac1n, \frac12]\\ 1 & \text{on } \hspace{0.5cm} [\frac12,1]\\ \end{casos}$$

Esta es una secuencia de Cauchy, pero su límite no es continua.