Localización isomorfo a un cociente de un polinomio anillo

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo y $A=\{1,a,a^2,\dots\}$ algunos $a\in R$. Demostrar que $A^{-1}R$ es isomorfo a $R[T]/(aT-1)$.

Supongo que estoy destinado a encontrar un surjective homomorphism entre el $A^{-1}R$ $R[T]$ y, a continuación, utilizar el primer teorema de isomorfismo. Lo homomorphism debo usar?

Answer 1

Definir un anillo homomorphism:$$\alpha: R[T] \longrightarrow A^{-1}R$$ $$r\longmapsto r/1, \mbox{ for $r \R$} $$ $$T\longmapsto1/a.$$ Claramente $\alpha$ es surjective. Vamos a demostrar que $\ker(\alpha)=(Ta-1)$.

$(\supseteq)$ Claro.

$(\subseteq)$ $h\in \ker(\alpha)\Rightarrow h \in(Ta-1)?$

$h=h(T)$ satisface $h(1/a)=0 \in A^{-1}R$, $a^nh(1/a)=0 \in R$, para algunas de las $n \geq \deg h$. A continuación, $a^nh(T)=G(aT)$ donde $G=G(Y)\in R[Y]$ satisface $G(1)=0$. Por lo $G(Y)=(Y-1)G_1(Y)$ para algunos polinomio $G_1(Y)$, por lo que el $a^nh(T)=G(aT)=(aT-1)G_1(aT)\Rightarrow a^nh(T)\in (aT-1)$ algunos $n$.

Aviso de $a$ $aT-1$ son coprime, por lo que el $$a^nh(T)\in (aT-1)\Rightarrow h(T)\in (aT-1).$$ De hecho, $1=aT-(aT-1)$, por lo que tomando $n^{th}$-poderes y utilizando el teorema del binomio $$1=a^nT^n+r(aT-1) \mbox{ for some $r \R[T]$}.$$ Por lo tanto,$h(T)=T^na^nh(T)+r(aT-1)h(T)\in (aT-1)$.

Espero que esto ayude.

Answer 2

El homomorphism $A^{-1}R \to R[T]/(aT - 1)$ envía $\frac{r}{a^i} \mapsto rT^i$. La forma de definir que es la primera vez que se define un homomorphism $R \to R[T]/(aT - 1)$ y, a continuación, utilizar la característica universal de localizaciones.

Creo que la manera más fácil de probar que es un isomorfismo es que se acaba de definir un mapa en la otra dirección y demostrar que la composición es la identidad.

Answer 3

Esta cuestión se vuelve aún más fácil si usted sabe las propiedades universales (que algunas personas llamarían el "derecho de las definiciones") de la localización, del polinomio anillos, y de cocientes.

$A^{-1}R$ es el ejemplo universal de un anillo conmutativo con un homomorphism de $R$ que envía todos los elementos de a $A$ a es invertible elementos. Eso es el equivalente a sólo el envío de $a$ a un elemento invertible.

$R[T]/(aT-1)$ es el ejemplo universal de un anillo conmutativo con un homomorphism de $R$ y un elemento $T$ que sirve como una función inversa de la imagen de la $a$.

Desde las dos propiedades universales son equivalentes, los anillos (y homomorphisms) definen son isomorfos.

Answer 4

¿Qué acerca de la $\Phi: R[T]\to A^{-1}R$$T\mapsto 1/a$?